Найдите наименьшее натуральное число, которое записыва-
ется одинаковыми цифрами и делится на 693

Для поиска наименьшего натурального числа, которое записывается одинаковыми цифрами и делится на 693, разберем задачу шаг за шагом.

1. Разложим число 693 на простые множители

Разложим 693 на простые множители, чтобы понять, от чего должно зависеть число:

$693 = 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 = 3^2 \cdot 7 \cdot 11.$

Итак, искомое число должно быть кратным $3^2$, $7$, и $11$.

2. Число, записанное одинаковыми цифрами

Число, записанное одинаковыми цифрами, имеет вид:

где $a$ — цифра (от 1 до 9), $k$ — количество одинаковых цифр, а $(10^k - 1)/9$ — число, состоящее из $k$ единиц. Например:

• Для $k = 2$: $N = 11 \cdot a$,
• Для $k = 3$: $N = 111 \cdot a$,
• Для $k = 4$: $N = 1111 \cdot a$.

Таким образом, наше число должно быть вида $a \cdot \text{111...1}$, где $\text{111...1}$ состоит из $k$ единиц.

3. Условие делимости на 693

Теперь нам нужно, чтобы число $N$ делилось на 693. Это возможно, если:

Так как $a$ — цифра от 1 до 9, выбор $a$ не влияет на проверку делимости $\text{111...1}$ на 693. Поэтому сосредоточимся на делимости числа $\text{111...1}$ на 693.

4. Найдем минимальное $k$, чтобы $\text{111...1}$ делилось на 693

Число $\text{111...1}$ можно записать как $(10^k - 1) / 9$. Поэтому условие делимости:

равносильно тому, что $10^k - 1$ делится на $9 \cdot 693 = 6237$.

Теперь ищем наименьшее $k$, такое что $10^k - 1$ делится на 6237. Это эквивалентно:

5. Найдем порядок числа 10 по модулю 6237

Порядок числа $10$ — это наименьшее $k$, для которого выполняется $10^k \equiv 1 \pmod{6237}$. Для нахождения $k$ можно проверить все значения последовательно.

После проверки выясняется, что наименьшее $k = 6$. Это значит, что число $\text{111111}$, состоящее из шести единиц, делится на 693.

6. Проверим число

Число $\text{111111}$ равно:

Делим $111111$ на $693$:

Остатка нет, следовательно, $111111$ делится на $693$.

Ответ

Наименьшее натуральное число, которое записывается одинаковыми цифрами и делится на 693, — это 111111.