Найдите трёхзначное число, если известно, что сумма цифр равна 11, а сумма квадратов его цифр равна 69. Если к этому числу прибавить 693, от получиться число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

Рассмотрим задачу о трёхзначном числе $ABC$, где $A$, $B$, $C$ — его цифры. Выполним разбор по условиям:

1. Трёхзначное число: $A, B, C$ — цифры, и $A \neq 0$ (так как число трёхзначное).
2. Сумма цифр: $A + B + C = 11$.
3. Сумма квадратов цифр: $A^2 + B^2 + C^2 = 69$.
4. Если к числу прибавить 693, получится число с цифрами в обратном порядке: $100A + 10B + C + 693 = 100C + 10B + A$.

Шаг 1. Анализ последнего условия

Упростим уравнение:

Сократим $10B$ и соберём подобные:

Разделим обе стороны на 99:

Получаем зависимость: $C = A + 7$.

Шаг 2. Учет диапазона цифр

Так как $A$ и $C$ — цифры, они должны быть в диапазоне от 0 до 9. Но $A \neq 0$ (число трёхзначное), поэтому $A$ может быть от 1 до 2, иначе $C = A + 7$ превысит 9.

Шаг 3. Проверка возможных значений $A, B, C$

Используем $A + B + C = 11$ и $C = A + 7$. Подставим $C$ в первое уравнение:

Упростим:

Теперь найдём $B$ для возможных значений $A$:

• Если $A = 1$: $2(1) + B = 4$, значит $B = 2$.
• Если $A = 2$: $2(2) + B = 4$, значит $B = 0$.

Теперь определим $C$ из $C = A + 7$:

• Для $A = 1$: $C = 1 + 7 = 8$.
• Для $A = 2$: $C = 2 + 7 = 9$.

Шаг 4. Проверка условия суммы квадратов

Проверим $A^2 + B^2 + C^2 = 69$:

1. Для $A = 1, B = 2, C = 8$:

   $$1^2 + 2^2 + 8^2 = 1 + 4 + 64 = 69.$$

   Условие выполняется.

2. Для $A = 2, B = 0, C = 9$:

   $$2^2 + 0^2 + 9^2 = 4 + 0 + 81 = 85.$$

   Условие не выполняется.

Шаг 5. Проверка числа с обратными цифрами

Для $A = 1, B = 2, C = 8$, число $128$. Если прибавить 693:

Это число с цифрами в обратном порядке $821$. Условие выполнено.

Ответ

Трёхзначное число — 128.