Найдите наименьшее натуральное число которое делится на все натуральные числа от 1 до 16

Чтобы найти наименьшее натуральное число, которое делится на все натуральные числа от 1 до 16, необходимо определить наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел.

Шаги для вычисления НОК

1. Факторизация чисел от 1 до 16:

   • 1: $1$
   • 2: $2$
   • 3: $3$
   • 4: $2^2$
   • 5: $5$
   • 6: $2 \cdot 3$
   • 7: $7$
   • 8: $2^3$
   • 9: $3^2$
   • 10: $2 \cdot 5$
   • 11: $11$
   • 12: $2^2 \cdot 3$
   • 13: $13$
   • 14: $2 \cdot 7$
   • 15: $3 \cdot 5$
   • 16: $2^4$

2. Определение максимальных степеней простых чисел: Теперь нужно взять максимальную степень каждого простого числа, которое встречается в факторизациях:

   • Для 2: максимальная степень $2^4$ (из 16)
   • Для 3: максимальная степень $3^2$ (из 9)
   • Для 5: максимальная степень $5^1$ (из 5)
   • Для 7: максимальная степень $7^1$ (из 7)
   • Для 11: максимальная степень $11^1$ (из 11)
   • Для 13: максимальная степень $13^1$ (из 13)

3. Вычисление НОК: Теперь мы можем вычислить НОК, умножив все максимальные степени простых чисел:

   $$НОК = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 11^1 \cdot 13^1$$

   Подсчитаем по шагам:

   • $2^4 = 16$
   • $3^2 = 9$
   • $5^1 = 5$
   • $7^1 = 7$
   • $11^1 = 11$
   • $13^1 = 13$

   Умножаем:

   $$НОК = 16 \cdot 9 = 144$$ $$НОК = 144 \cdot 5 = 720$$ $$НОК = 720 \cdot 7 = 5040$$ $$НОК = 5040 \cdot 11 = 55440$$ $$НОК = 55440 \cdot 13 = 720720$$

Таким образом, наименьшее натуральное число, которое делится на все натуральные числа от 1 до 16, равно 720720.