Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел от 23 до 42 включительно?

Для того чтобы ответить на вопрос, нужно понять, сколько нулей будет в конце произведения всех чисел от 23 до 42 включительно. Чтобы понять это, важно знать, что каждый ноль в конце числа появляется благодаря множителю, который делится на 10. А 10 можно разложить как $10 = 2 \times 5$, то есть каждый фактор 10 в числе — это пара множителей 2 и 5. Таким образом, для того чтобы посчитать количество нулей в конце произведения, нужно узнать, сколько раз в факторизации произведения встречается пара чисел 2 и 5. Другими словами, нужно найти, сколько раз 5 входит в множители всех чисел от 23 до 42, так как множителей 2 всегда будет больше.

Шаг 1: Найдём количество чисел, делящихся на 5

Чтобы посчитать, сколько чисел от 23 до 42 делятся на 5, можно просто перечислить их:

• 25
• 30
• 35
• 40

Это все числа, которые делятся на 5. Таким образом, в произведении присутствуют как минимум четыре множителя 5.

Шаг 2: Проверим, сколько чисел делятся на 25

Каждое число, которое делится на 25, даёт ещё один множитель 5. В нашем диапазоне чисел от 23 до 42 есть только одно число, которое делится на 25 — это 25. То есть, для числа 25 мы получаем дополнительный множитель 5.

Шаг 3: Подсчитаем количество факторов 5

Итак, числа, делящиеся на 5, — это 25, 30, 35 и 40. Кроме того, число 25 даёт дополнительный множитель 5, так как оно делится на 25 (то есть $25 = 5^2$).

• Число 25 даёт два множителя 5.
• Числа 30, 35 и 40 дают по одному множителю 5.

Итого, общее количество множителей 5 в произведении чисел от 23 до 42 — это:

$2 \, (от 25) + 1 \, (от 30) + 1 \, (от 35) + 1 \, (от 40) = 5$

Шаг 4: Количество множителей 2

Теперь надо убедиться, что множителей 2 достаточно для образования 5 пар, так как каждый множитель 2 должен образовать пару с множителем 5 для получения множителя 10. Чисел, делящихся на 2, в нашем диапазоне достаточно много. Их даже больше, чем чисел, делящихся на 5, так что мы точно можем образовать 5 пар множителей 2 и 5.

Ответ

Поскольку количество множителей 5 в произведении равно 5, а множителей 2 — больше чем достаточно, произведение чисел от 23 до 42 будет иметь 5 нулей в конце.