На листе бумаги сначала нарисовали 3 пересекающиеся прямые (исходные прямые не пересекаются в одной точке), а затем 4 параллельные прямые. Как могут быть расположены эти прямые, и сколько всего точек пересечения на них?
(Правильными могут быть несколько ответов.)

10
13
11
9
14
12
15

Для ответа на этот вопрос разберём задачу поэтапно, чтобы учесть все возможные варианты расположения прямых и вычислить количество точек пересечения.

Шаг 1. Разберём пересечение исходных трёх прямых

• У нас есть 3 пересекающиеся прямые, причём они пересекаются парами, но не пересекаются все в одной точке.
• Каждая пара прямых создаёт одну точку пересечения. Для трёх прямых таких пар будет: $$C(3, 2) = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3 \text{ точки пересечения.}$$

Шаг 2. Добавляем 4 параллельные прямые

• 4 параллельные прямые никогда не пересекаются между собой, поэтому точек пересечения между ними нет.
• Однако каждая из параллельных прямых пересекает все три исходные прямые. Таким образом, каждая из 4 параллельных прямых добавляет 3 точки пересечения (по одной с каждой исходной прямой).
• Количество точек пересечения, образованных параллельными прямыми с исходными, равно: $$4 \cdot 3 = 12 \text{ точки.}$$

Шаг 3. Итоговое количество точек пересечения

• Сложим точки пересечения от исходных прямых (3 точки) и от пересечения параллельных прямых с исходными (12 точек): $$3 + 12 = 15 \text{ точек пересечения.}$$

Проверка на альтернативные расположения

1. Нельзя уменьшить количество точек пересечения ниже 15. Для уменьшения числа точек пересечения пришлось бы изменять условия задачи, например, делать исходные прямые параллельными или пересекающимися в одной точке, что противоречит условиям.
2. 15 точек — это максимальное количество. Все прямые максимально используются для создания точек пересечения.

Ответ:

Правильный ответ — 15.