На доске написано 26 различных чисел. Полина к некоторым числам прибавила 1, к некоторым — 12, а ко всем оставшимся — 123. Среди новых 26 чисел могли появиться одинаковые. Какое наименьшее количество различных чисел могло быть среди новых чисел?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, давайте сначала разберемся с условием задачи.

Итак, у нас есть 26 различных чисел. Полина к некоторым числам прибавила 1, к некоторым — 12, а ко всем оставшимся — 123. После выполнения этих операций, на доске появляется новая последовательность из 26 чисел, и нам нужно выяснить, какое минимальное количество различных чисел может быть в этой новой последовательности.

Шаг 1: Размышления о процессе преобразования чисел

Каждое из 26 чисел на доске подвергается одному из трёх возможных преобразований:

• к числу прибавляется 1,
• к числу прибавляется 12,
• к числу прибавляется 123.

Нам нужно определить, как можно минимизировать количество различных чисел в новой последовательности. Очевидно, если некоторые из новых чисел совпадают, то количество различных чисел среди них будет меньше. Значит, нам нужно найти способ таким образом распределить преобразования, чтобы как можно больше чисел стали одинаковыми.

Шаг 2: Стратегия минимизации числа различных чисел

Чтобы минимизировать количество различных чисел среди новых чисел, необходимо, чтобы после прибавления 1, 12 и 123 несколько чисел совпали.

Допустим, что несколько чисел на доске изначально имеют определённые значения, которые после преобразований (прибавления 1, 12 или 123) могут совпасть. Таким образом, например, если одно из чисел $x$ было изначально равно $a$, то после прибавления:

• $a+1$,
• $a+12$,
• $a+123$

могут совпасть с другими числами, что уменьшит количество различных чисел.

Шаг 3: Формализация количества различных чисел

Предположим, что числа на доске таковы, что каждый результат преобразования может привести к тому, что новые числа после операции прибавления окажутся одинаковыми. Чтобы достичь минимального количества различных чисел среди новых, достаточно, чтобы числа после преобразований совпали, например, если начальные числа будут соответствовать определённым структурам, таким как одинаковые остатки при делении на 12.

В результате таких преобразований минимальное количество различных чисел, которое может появиться среди новых чисел, — это 13. Почему 13? Потому что при делении всех чисел на 12 в остатке можно получить 12 различных классов, а так как к каждому числу прибавляется ещё одно из трёх возможных значений (1, 12 или 123), то наименьшее количество различных чисел среди новых чисел можно получить при использовании остаточных классов и их сочетания.

Ответ:

Наименьшее количество различных чисел среди новых чисел может быть 13.