На доске написано 20 различных чисел . полина к некоторым числам прибавила 1, к некоторым 12 а ко всем оставшимся - 123 . соеди новых 20 чисел могли появится одинаковые . какое наименьшее количство различных чисел могло быть среди новых чисел?​

Давайте разберем эту задачу пошагово.

1. Понимание задачи

Изначально на доске написано 20 различных чисел. Полина прибавила к некоторым числам 1, к некоторым — 12, а ко всем остальным — 123. Среди новых 20 чисел могли появиться одинаковые. Необходимо выяснить, какое наименьшее количество различных чисел могло быть среди этих новых чисел.

2. Исследование подхода

Задача состоит в том, чтобы минимизировать количество различных чисел среди новых чисел. Это означает, что Полина могла постараться сделать так, чтобы как можно больше чисел стали одинаковыми после прибавления.

Полина имела три различных варианта: прибавить 1, 12 или 123 к каждому из чисел. Эти три действия создают три группы чисел:

• Группа 1: числа, к которым прибавили 1.
• Группа 2: числа, к которым прибавили 12.
• Группа 3: числа, к которым прибавили 123.

Теперь давайте рассмотрим ситуацию, когда несколько различных чисел могли стать одинаковыми после прибавления.

3. Условия для совпадения чисел

Для того чтобы два различных числа после прибавления к ним одного из значений (1, 12 или 123) стали одинаковыми, разница между этими числами должна компенсироваться разницей в прибавленных значениях. Рассмотрим различные случаи:

• Если $a_1$ и $a_2$ — два разных числа на доске, то, если Полина прибавит к $a_1$ 1, а к $a_2$ 12, то после этих операций числа станут равными, если:

  $$a_1 + 1 = a_2 + 12,$$

  что эквивалентно:

  $$a_2 = a_1 - 11.$$

  То есть разница между исходными числами должна быть равна 11.

• Аналогично, если Полина прибавит к $a_1$ 1, а к $a_2$ 123, числа станут равными, если:

  $$a_1 + 1 = a_2 + 123,$$

  что эквивалентно:

  $$a_2 = a_1 - 122.$$

  Разница между исходными числами должна быть равна 122.

4. Минимизация числа различных чисел

Мы можем попытаться разделить числа таким образом, чтобы несколько чисел после прибавления стали одинаковыми. Если Полина тщательно подберет, к каким числам что прибавлять, она может минимизировать количество различных чисел среди новых чисел.

Стратегия минимизации

Пусть $x_1$, $x_2$, ..., $x_{20}$ — исходные числа. Если мы хотим минимизировать количество различных чисел, Полина может попытаться сгруппировать исходные числа так, чтобы после прибавления некоторые группы стали одинаковыми.

Наиболее эффективно будет использовать как можно больше совпадений, используя разницу 11 и 122, как показано выше. Таким образом, Полина может сделать так, чтобы некоторые группы чисел после прибавления стали равны.

5. Итоговое количество различных чисел

Минимальное количество различных чисел можно получить, если Полина сделает как можно больше групп с одинаковыми результатами. Теоретически возможно, что все числа могут быть приведены к одному из трех вариантов — прибавленные 1, 12 или 123. Однако это крайне маловероятно, так как исходные числа различны, и не все разности могут быть точно равны 11 или 122.

Тем не менее, более реалистичный сценарий заключается в том, что Полина может свести новые числа к трём различным значениям — это наименьшее количество различных чисел, которое может быть среди новых чисел. Такое минимальное количество можно получить, если разделить числа на три группы, к каждой из которых прибавляется один из вариантов (1, 12 или 123), и при этом группа чисел внутри каждой группы после прибавления станет одинаковой.

Ответ:

Наименьшее количество различных чисел могло быть равно 3.