На доске написано 100 различных натуральных чисел сумма которых равна 5100
а) Может ли быть среди них число 250
б) Может ли там не быть числа 11
в) Напишите минимальное количество чисел которые делятся на 11

Давайте разберем этот вопрос по частям.

Задание

На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых равна 5100. Нужно ответить на следующие вопросы:

а) Может ли быть среди них число 250?

Для ответа на этот вопрос давайте проанализируем условия задачи. У нас есть 100 различных натуральных чисел, их сумма — 5100. Нам нужно понять, может ли одно из этих чисел быть равно 250.

Для этого можно просто вычесть 250 из суммы всех чисел:

Теперь нужно выяснить, можно ли получить сумму 4850, используя оставшиеся 99 чисел, причем они должны быть различными и натуральными. Разумеется, мы можем подобрать такие числа, которые в сумме дадут 4850, так как для этого существует достаточно много вариантов чисел (например, это могут быть числа от 1 до 99, за исключением 250).

Итак, теоретически число 250 может быть среди этих 100 чисел, потому что оставшиеся 99 чисел могут дать необходимую сумму (4850). Таким образом, может.

б) Может ли там не быть числа 11?

Теперь давайте рассмотрим, может ли среди чисел на доске не быть числа 11.

Если бы числа 11 не было, то сумма всех чисел на доске должна была бы равняться 5100, но без 11. Тогда сумма оставшихся 99 чисел должна быть равна:

Таким образом, нужно проверить, можно ли составить сумму 5089 из 99 различных натуральных чисел. На самом деле, это возможно. Например, можно взять числа от 1 до 99, кроме 11, и их сумма будет равна 4851. Оставшуюся сумму можно "добрать" с помощью чисел больше 99. Например, можно взять числа 100, 101 и так далее, чтобы достичь нужной суммы 5089. Таким образом, можно обойтись без числа 11.

Ответ: Да, может не быть числа 11.

в) Напишите минимальное количество чисел, которые делятся на 11.

Теперь рассмотрим, сколько чисел среди 100 чисел должны делиться на 11. Рассмотрим, какую сумму дают числа, делящиеся на 11. Числа, которые делятся на 11, это 11, 22, 33, ..., 99 и далее. Нам нужно минимальное количество таких чисел.

Пусть $k$ — это количество чисел, которые делятся на 11. Тогда сумма этих чисел будет равна:

Сумма первых $k$ чисел в арифметической прогрессии равна:

Таким образом, сумма чисел, делящихся на 11, будет равна:

Теперь давайте рассмотрим минимальное количество чисел, делящихся на 11. Если мы захотим, чтобы сумма этих чисел была как можно меньше, при этом не превышала 5100, мы можем использовать такие числа, как 11, 22, 33 и так далее. Однако важно помнить, что числа на доске должны быть различными и натуральными, и сумма этих чисел должна в итоге быть равной 5100.

Чтобы минимизировать количество чисел, делящихся на 11, мы можем выбрать минимальное количество таких чисел, которые в сумме дают 5100.

Таким образом, минимальное количество чисел, которые делятся на 11, — это 1.