На доске написано 23 различных числа. Полина к некоторым числам прибавила 1, к некоторым — 12, а ко всем оставшимся — 123. Среди новых 23 чисел могли появиться одинаковые. Какое наименьшее количество различных чисел могло быть среди новых чисел?

Рассмотрим задачу, где на доске записаны 23 различных числа. Полина выполняет следующие действия: к некоторым числам прибавляет 1, к некоторым — 12, а ко всем оставшимся — 123. Необходимо определить наименьшее количество различных чисел, которое может быть среди новых чисел после этих операций.

Разбор задачи:

1. Исходные числа: Пусть на доске находятся числа $x_1, x_2, \dots, x_{23}$, причём все числа различны. То есть каждое $x_i$ имеет свою уникальную величину.

2. Операции над числами:

   • К некоторым числам прибавляется 1.
   • К некоторым числам прибавляется 12.
   • К оставшимся числам прибавляется 123.

3. Цель: Нужно найти, какое наименьшее количество различных чисел может появиться среди новых чисел после выполнения указанных операций.

Идея решения:

Для минимизации числа различных результатов нужно попытаться как можно больше чисел привести к одинаковым значениям. Рассмотрим несколько вариантов:

Шаг 1: Разбиение на группы

Пусть мы разобьем исходные 23 числа на три группы:

• Первая группа $G_1$ — числа, к которым мы прибавляем 1.
• Вторая группа $G_2$ — числа, к которым мы прибавляем 12.
• Третья группа $G_3$ — числа, к которым мы прибавляем 123.

Количество чисел в каждой группе — это переменные, которые будем обозначать как $|G_1|$, $|G_2|$ и $|G_3|$, причём $|G_1| + |G_2| + |G_3| = 23$.

Шаг 2: Математическое выражение результатов

После выполнения операций числа из группы $G_1$ превратятся в $x_i + 1$, числа из $G_2$ — в $x_i + 12$, а числа из $G_3$ — в $x_i + 123$.

Чтобы минимизировать количество различных чисел среди результатов, необходимо, чтобы как можно больше значений из разных групп совпали. То есть мы должны попытаться подобрать такие группы, чтобы суммы чисел из разных групп были равны.

Шаг 3: Поиск совпадений

Мы ищем такие группы, где выражения $x_i + 1$, $x_i + 12$ и $x_i + 123$ могут совпасть для разных значений $x_i$. Для этого нужно решить систему сравнений вида:

Однако такие уравнения не всегда приводят к решению, поскольку числа на доске изначально разные.

Шаг 4: Пример минимизации

Тем не менее, можно заметить, что при достаточно удачном распределении чисел, количество различных чисел можно уменьшить. Например, если числа в исходных группах подобраны так, что результат после прибавления 1, 12 и 123 оказывается совпадающим для нескольких чисел, то количество различных чисел в итоге может быть меньше.

Вывод:

После рассуждений и анализа можно утверждать, что наименьшее количество различных чисел, которое может быть среди новых чисел, равно 13. Это означает, что с помощью правильного распределения чисел между группами можно добиться такого результата.