Дано, что BD — биссектриса угла ABC. AB⊥DAиEC⊥BC.

ВычислиBC, если DA=12 см, AB=16 см, EC=6 см.


lidzTr_bis.PNG

Сначала докажем подобие треугольников. В каждое окошечко пиши одну латинскую букву или число.

∢A=∢
=
°∢C
E=∢D
A,т.к.BE− биссектриса⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⇒ΔDBA∼ΔEBC по двум углам (по первому признаку подобия треугольников).

Задача состоит в том, чтобы вычислить длину отрезка $BC$, при данных значениях:

• $DA = 12$ см,
• $AB = 16$ см,
• $EC = 6$ см.

У нас есть несколько важных утверждений, которые помогут решить задачу:

1. Биссектриса угла $ABC$. Из условия задачи известно, что линия $BD$ — биссектриса угла $ABC$, то есть она делит угол пополам.

2. Перпендикулярность: также даны отношения, что $AB \perp DA$ и $EC \perp BC$, что говорит о наличии прямых углов в треугольниках $ABD$ и $EBC$.

Шаг 1. Докажем подобие треугольников

Для того чтобы решить задачу, сначала докажем, что треугольники $\triangle DBA$ и $\triangle EBC$ подобны.

• Из условия $BD$ — биссектриса угла $ABC$, а также $AB \perp DA$ и $EC \perp BC$, можно сделать вывод, что углы $\angle ADB = \angle EBC$, так как эти углы являются прямыми.
• Более того, угол $\angle DAB = \angle EBC$ (по условию, биссектриса делит угол пополам).

Таким образом, у нас есть два угла, равных между треугольниками $\triangle DBA$ и $\triangle EBC$, следовательно, по второму признаку подобия (по двум углам) треугольники $\triangle DBA \sim \triangle EBC$.

Шаг 2. Составляем пропорцию

Так как треугольники подобны, то их соответствующие стороны пропорциональны. В частности:

Теперь подставим известные значения:

Шаг 3. Выражаем $BC$ через $DB$

Из полученной пропорции можно выразить $BC$ через $DB$:

Шаг 4. Найдем значение $DB$

Для нахождения значения $DB$ нужно использовать тот факт, что $DA = 12$ см и $AB = 16$ см. Поскольку $AB \perp DA$, треугольник $\triangle ABD$ является прямоугольным, и по теореме Пифагора можно найти длину гипотенузы $DB$:

Шаг 5. Подставляем значение $DB$

Теперь подставляем найденное значение $DB = 20$ см в выражение для $BC$:

Таким образом, длина отрезка $BC$ равна 4.8 см.