Найди корни уравнения (x² - 5)(x² + 5) = 101 - 5x²

Давайте решим уравнение $(x^2 - 5)(x^2 + 5) = 101 - 5x^2$.

1. Раскроем скобки с левой стороны:

   $$(x^2 - 5)(x^2 + 5) = x^4 + 5x^2 - 5x^2 - 25 = x^4 - 25$$

   У нас получается выражение:

   $$x^4 - 25 = 101 - 5x^2$$

2. Переносим все члены на одну сторону уравнения, чтобы привести его к стандартному виду:

   $$x^4 - 25 - 101 + 5x^2 = 0$$

   Упрощаем:

   $$x^4 + 5x^2 - 126 = 0$$

3. Введем замену $y = x^2$, тогда у нас получится квадратное уравнение по $y$:

   $$y^2 + 5y - 126 = 0$$

4. Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

   $$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-126) = 25 + 504 = 529$$

   Теперь находим корни:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{529}}{2} = \frac{-5 \pm 23}{2}$$

   Таким образом, получаем два корня:

   $$y_1 = \frac{-5 + 23}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ $$y_2 = \frac{-5 - 23}{2} = \frac{-28}{2} = -14$$

5. Так как $y = x^2$, подставляем обратно:

   $$x^2 = 9 \quad \text{или} \quad x^2 = -14$$

6. Решаем для $x$:

   • Из $x^2 = 9$ получаем $x = 3$ или $x = -3$.

   • Из $x^2 = -14$ нет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Итак, корни уравнения — это $x = 3$ и $x = -3$.