Помогите с задачами пожайлуста!))) Если можно с решением)))
1) Найдите все натуральные числа меньшие 300, имеющие ровно 15 делителей. Если таких чисел нет, то напишите в ответе 0.(ОТВЕТ 0 НЕ ПОДХОДИТ)
2) Наибольший общий делитель натуральных чисел m и n равен 1. Каково наибольшее возможное значение НОД чисел m+100n и n+100m ?
3) Сколько различных натуральных делителей у числа 2 в 5 степени, 5 в 7, и 7 в 9 ?
4) Решите в целых числах уравнение
x^{3} +x^{2}+x−3=0.
Укажите все корни этого уравнения
5) Пусть a и b — натуральные взаимно простые числа. Найдите все возможные значения НОД(a^{2} + b^{2} ,a+b) .

Давай разберем каждую из задач по порядку. Постараюсь объяснить и решить их максимально подробно.

Задача 1

Найдите все натуральные числа меньше 300, имеющие ровно 15 делителей.

Для того чтобы найти число с определенным количеством делителей, нужно понимать свойства функции делителей.

1. Пусть $n = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}$ — разложение числа $n$ на простые множители.
2. Тогда количество делителей числа $n$ равно $(e_1 + 1) \cdot (e_2 + 1) \cdots (e_k + 1)$.

Чтобы число $n$ имело ровно 15 делителей, произведение $(e_1 + 1) \cdot (e_2 + 1) \cdots (e_k + 1) = 15$. Разложим 15 на множители:

• $15 = 15 \cdot 1$
• $15 = 5 \cdot 3$

Это означает, что $n$ может быть представлено как $p_1^{14}$ или $p_1^4 \cdot p_2^2$, где $p_1$ и $p_2$ — простые числа.

Проверим эти случаи:

1. $p_1^{14}$: наименьшее простое число $p_1 = 2$, тогда $2^{14} = 16384$, что больше 300. Этот случай не подходит.
2. $p_1^4 \cdot p_2^2$: наименьшие простые числа — 2 и 3.
   • Если $p_1 = 2$ и $p_2 = 3$, то $2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144$, что меньше 300 и подходит.

Проверим, имеет ли 144 ровно 15 делителей:

• Разложение: $144 = 2^4 \cdot 3^2$.
• Количество делителей: $(4 + 1) \cdot (2 + 1) = 5 \cdot 3 = 15$.

Ответ: 144 — единственное число меньше 300, которое имеет ровно 15 делителей.

Задача 2

Наибольший общий делитель чисел $m$ и $n$ равен 1. Каково наибольшее возможное значение НОД чисел $m+100n$ и $n+100m$?

Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел, $m+100n$ и $n+100m$, учитывая, что $\text{НОД}(m, n) = 1$:

Пусть $d = \text{НОД}(m+100n, n+100m)$. Тогда $d$ делит разности этих чисел:

Также $d$ делит $100(m - n)$. То есть $d$ делит и $m - n$ и $100(m - n)$. Так как $m$ и $n$ взаимно просты, максимум возможного значения для $d$ — это $\text{НОД}(100, 1) = 1$.

Ответ: 1

Задача 3

Сколько различных натуральных делителей у числа $2^5$, $5^7$, и $7^9$?

Для вычисления количества делителей числа вида $p^k$:

• Если $n = p^k$, где $p$ — простое число, то количество делителей числа $n$ равно $k + 1$.

1. Для $2^5$: количество делителей $= 5 + 1 = 6$.
2. Для $5^7$: количество делителей $= 7 + 1 = 8$.
3. Для $7^9$: количество делителей $= 9 + 1 = 10$