Решите уравнение: x/(2x + 6) = 2/x

Чтобы решить уравнение $\frac{x}{2x + 6} = \frac{2}{x}$, давайте последовательно выполняем шаги.

1. Умножим обе стороны уравнения на $x$ и на $(2x + 6)$ (чтобы избавиться от дробей):

   Умножаем обе стороны на $x(2x + 6)$:

   $$x(2x + 6) \cdot \frac{x}{2x + 6} = x(2x + 6) \cdot \frac{2}{x}$$

   Это упростится до:

   $$x^2 = 2(2x + 6)$$

2. Раскроем скобки на правой стороне:

   $$x^2 = 4x + 12$$

3. Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

   $$x^2 - 4x - 12 = 0$$

4. Решим квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:
   Квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = -4$, $c = -12$. Дискриминант $\Delta$ вычисляется по формуле:

   $$\Delta = b^2 - 4ac$$

   Подставляем значения:

   $$\Delta = (-4)^2 - 4(1)(-12) = 16 + 48 = 64$$

5. Находим корни уравнения с помощью формулы:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

   Подставляем значения:

   $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{4 \pm 8}{2}$$

   Получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$x_2 = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

6. Проверка:
   Подставим оба значения $x = 6$ и $x = -2$ в исходное уравнение.

   • Для $x = 6$:

     $$\frac{6}{2(6) + 6} = \frac{6}{12 + 6} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$$

     и

     $$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

     Уравнение выполняется, $x = 6$ — решение.

   • Для $x = -2$:

     $$\frac{-2}{2(-2) + 6} = \frac{-2}{-4 + 6} = \frac{-2}{2} = -1$$

     и

     $$\frac{2}{-2} = -1$$

     Уравнение выполняется, $x = -2$ — решение.

Таким образом, решениями уравнения являются $x = 6$ и $x = -2$.