Как решить графическое уравнение √x = x - 2

Чтобы решить графическое уравнение $\sqrt{x} = x - 2$, нужно представить его как систему двух функций и найти точку их пересечения. Для этого можно выполнить следующие шаги:

1. Записать уравнение в виде функций:
   Уравнение $\sqrt{x} = x - 2$ можно переписать как систему:

   $$f(x) = \sqrt{x}$$ $$g(x) = x - 2$$

   Нужно найти точку, где графики этих функций пересекаются.

2. Анализ графиков функций:

   • Функция $f(x) = \sqrt{x}$ определена только для $x \geq 0$ (так как извлечение квадратного корня из отрицательного числа невозможно в пределах вещественных чисел).

   • Функция $g(x) = x - 2$ — это прямая, которая пересекает ось $y$ в точке $-2$ и имеет наклон 1 (т.е. она растет на 1 единицу по оси $y$ на каждую единицу по оси $x$).

3. Найти точку пересечения:
   Чтобы найти точку пересечения, приравняем обе функции:

   $$\sqrt{x} = x - 2$$

   Теперь избавимся от квадратного корня. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

   $$(\sqrt{x})^2 = (x - 2)^2$$ $$x = (x - 2)^2$$

   Раскроем скобки:

   $$x = x^2 - 4x + 4$$

   Переносим все элементы на одну сторону:

   $$0 = x^2 - 5x + 4$$

   Это квадратное уравнение. Чтобы решить его, используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

   $$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)}$$ $$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$$ $$x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2}$$ $$x = \frac{5 \pm 3}{2}$$

   Таким образом, получаем два возможных значения для $x$:

   $$x_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1$$

4. Проверка решений:
   Подставим полученные значения в исходное уравнение $\sqrt{x} = x - 2$:

   • Для $x = 4$:

     $$\sqrt{4} = 4 - 2$$ $$2 = 2$$

     Это верно.

   • Для $x = 1$:

     $$\sqrt{1} = 1 - 2$$ $$1 = -1$$

     Это неверно.

   Таким образом, единственным решением является $x = 4$.

Ответ: $x = 4$.