Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 9 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 56 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
Помогите пожалуйста. Тут нужно решить систему, мне кажется:
x+y+z=33 и 7x-12y+0z=70 Как решить эту систему?

Чтобы решить задачу, нужно рассмотреть три типа ответов ученика:

• $x$ — количество правильных ответов (7 очков за каждый);
• $y$ — количество неправильных ответов (-9 очков за каждый);
• $z$ — количество пропущенных ответов (0 очков за каждый).

Составим систему уравнений:

1. $x + y + z = 33$ — общее количество вопросов.
2. $7x - 9y = 56$ — итоговый счёт за все ответы.

Решим систему уравнений:

Из первого уравнения выразим $z$:

Подставим $z = 33 - x - y$ во второе уравнение:

Теперь система свелась к:

1. $x + y \leq 33$ (учитываем, что $z$ не может быть отрицательным);
2. $7x - 9y = 56$.

Решим второе уравнение относительно $y$:

Подставляем ограничения:

1. $x + y \leq 33$,
2. $y \geq 1$ (так как ученик хотя бы раз ошибся),
3. $x \geq 0$, $y \geq 0$, $z \geq 0$.

Найдём значения $x$ и $y$:

Чтобы $y$ был целым числом, $7x - 56$ должно делиться на 9. Это значит:

Проверим делимость:

Решаем сравнение:

Обратное число к $7 \ (\text{mod} \ 9)$ — это $4$, так как $7 \cdot 4 \equiv 28 \equiv 1 \ (\text{mod} \ 9)$. Умножим сравнение на 4:

Значит, $x = 8 + 9k$, где $k$ — целое число. Учитывая, что $x \geq 0$ и $x + y \leq 33$, подставляем $x$ в разумные пределы. Например, если $k = 0$, то $x = 8$.

Подставим $x = 8$ в уравнение для $y$: