ПОЖАЛУЙСТА, РЕШИТЕ МНЕ НЕРАВЕНСТВО!!!!!!! 2^x+6*2^-x ≤7 ПЕРЕД СЕМЁРКОЙ ЗНАК МЕНЬШЕ ИЛИ РАВНО! СПАСИБО ЗАРАНЕЕ!

Решим неравенство $2^x + 6 \cdot 2^{-x} \leq 7$.

1. Для удобства введем замену:
   Пусть $y = 2^x$, тогда $2^{-x} = \frac{1}{y}$.
   Это позволяет переписать неравенство как:

   $$y + 6 \cdot \frac{1}{y} \leq 7$$

2. Умножим обе части неравенства на $y$ (так как $y = 2^x > 0$, это не изменит знак неравенства):

   $$y^2 + 6 \leq 7y$$

3. Переносим все в одну сторону:

   $$y^2 - 7y + 6 \leq 0$$

4. Решим квадратное неравенство $y^2 - 7y + 6 \leq 0$. Для этого находим корни уравнения $y^2 - 7y + 6 = 0$ с помощью дискриминанта:

   $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$$

   Корни уравнения:

   $$y = \frac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 5}{2}$$

   То есть, корни:

   $$y_1 = \frac{7 + 5}{2} = 6, \quad y_2 = \frac{7 - 5}{2} = 1$$

5. Теперь можем решить неравенство $y^2 - 7y + 6 \leq 0$ с помощью интервалов. Корни $y = 1$ и $y = 6$ разбивают числовую ось на три интервала:

   • $(-\infty, 1)$

   • $(1, 6)$

   • $(6, \infty)$

   Анализируем знаки на этих интервалах:

   • На интервале $(1, 6)$ выражение $y^2 - 7y + 6$ отрицательно.

   • На интервалах $(-\infty, 1)$ и $(6, \infty)$ выражение положительно.

   Следовательно, неравенство выполняется на интервале $1 \leq y \leq 6$.

6. Возвращаемся к переменной $y = 2^x$. Получаем, что:

   $$1 \leq 2^x \leq 6$$

7. Логарифмируем обе части неравенства по основанию 2:

   $$\log_2(1) \leq x \leq \log_2(6)$$

   Известно, что $\log_2(1) = 0$, а $\log_2(6)$ можно выразить через приближенное значение:

   $$\log_2(6) \approx 2.585$$

Таким образом, решение неравенства: