найти корни уравнения cos²x + 3sinx - 3 = 0 на отрезке [-2π; 4π]

Для решения уравнения $\cos^2(x) + 3\sin(x) - 3 = 0$ на отрезке $[-2\pi; 4\pi]$, можно выполнить следующие шаги:

1. Использование тригонометрических тождеств:

   Известно, что $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$ по основному тригонометрическому тождеству. Подставим это в исходное уравнение:

   $$1 - \sin^2(x) + 3\sin(x) - 3 = 0$$

2. Преобразование уравнения:

   Упростим уравнение:

   $$-\sin^2(x) + 3\sin(x) - 2 = 0$$

   Умножим обе части на $-1$, чтобы избавиться от минуса перед квадратом синуса:

   $$\sin^2(x) - 3\sin(x) + 2 = 0$$

3. Решение квадратного уравнения:

   Теперь решим это квадратное уравнение относительно $\sin(x)$:

   $$\sin^2(x) - 3\sin(x) + 2 = 0$$

   Мы можем решить его с помощью дискриминанта:

   $$D = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$$

   Таким образом, у нас два корня:

   $$\sin(x) = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{3 \pm 1}{2}$$

   Получаем два решения:

   $$\sin(x) = \frac{3 + 1}{2} = 2 \quad \text{или} \quad \sin(x) = \frac{3 - 1}{2} = 1$$

   Однако значение $\sin(x) = 2$ не подходит, так как синус не может быть больше 1. Таким образом, остается $\sin(x) = 1$.

4. Решение для $\sin(x) = 1$:

   Уравнение $\sin(x) = 1$ имеет решение в виде:

   $$x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

   Теперь определим все значения $x$ на отрезке $[-2\pi; 4\pi]$.

   Подставляем различные значения $k$:

   • Для $k = -2$: $x = \frac{\pi}{2} + 2(-2)\pi = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2}$ (не подходит, так как не лежит в пределах отрезка)

   • Для $k = -1$: $x = \frac{\pi}{2} + 2(-1)\pi = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$ (подходит)

   • Для $k = 0$: $x = \frac{\pi}{2}$ (подходит)

   • Для $k = 1$: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$ (подходит)

   • Для $k = 2$: $x = \frac{\pi}{2} + 2(2)\pi = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2}$ (не подходит, так как больше $4\pi$)

   Таким образом, решения уравнения $\sin(x) = 1$ на отрезке $[-2\pi; 4\pi]$