Какое количество теплоты необходимо сообщить одному молю идеального одноатомного газа, находящемуся в закрытом баллоне при температуре 27 °C, чтобы повысить его давление в 3 раза?

Для того чтобы вычислить количество теплоты, необходимое для повышения давления газа в три раза, используем закон Бойля-Мариотта и уравнение состояния идеального газа.

1. Исходные данные:

   • Начальная температура $T_1 = 27°C = 300 K$ (переводим в Кельвины).

   • Давление увеличивается в 3 раза, то есть $p_2 = 3 p_1$.

   • Газ идеальный одноатомный, следовательно, его теплоемкость можно принять как $C_V = \frac{3}{2} R$, где $R$ — универсальная газовая постоянная, $R \approx 8.31 \, \text{Дж/(моль·К)}$.

2. Используем уравнение состояния идеального газа:
   Уравнение состояния для идеального газа:

   $$pV = nRT$$

   Где $p$ — давление, $V$ — объем, $n$ — количество вещества в молях, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — температура.

   Поскольку объем и количество вещества остаются постоянными (баллон закрыт, количество газа не меняется), уравнение состояния можно записать как:

   $$\frac{p_1 T_1}{T_2} = p_2$$

   Подставляем $p_2 = 3p_1$ и решаем относительно $T_2$:

   $$\frac{p_1 T_1}{T_2} = 3p_1$$ $$T_2 = \frac{T_1}{3}$$

   Подставляем значения:

   $$T_2 = \frac{300 K}{3} = 900 K$$

   ]

3. Находим количество теплоты:
   Используем формулу для изменения внутренней энергии:

   $$\Delta U = n C_V \Delta T$$

   Где $\Delta U$ — изменение внутренней энергии, $C_V = \frac{3}{2} R$ — теплоемкость при постоянном объеме.

   Для одноатомного идеального газа количество теплоты, необходимое для повышения температуры:

   $$Q = \Delta U = n \cdot \frac{3}{2} R \cdot \Delta T$$

   Температура увеличивается с $T_1 = 27°C$ до $T_2 = 900 K$, то есть $\Delta T = 900 - 300 = 600 K$. Подставляем:

   $$Q = 1 \cdot \frac{3}{2} \cdot 8.31 \cdot 600$$ $$Q = 1 \cdot 12.465 \cdot 600$$ $$Q = 7479 Дж$$

Таким образом, количество теплоты, которое необходимо сообщить газу, чтобы повысить его давление в 3 раза, равно 7479 Дж.