Объем пузырька газа, всплывающего на поверхность со дна озера, увеличился в 2 раза. Определить глубину озера. Температура воздуха на поверхности озера 27°C, а на его дне 17°C. Атмосферное давление нормальное.

Для решения задачи применим закон Бойля-Мариотта и закон Гей-Люссака, которые описывают поведение газа при изменении давления и температуры.

1. Обозначения:

   • $V_1$ — начальный объем пузырька на дне озера.

   • $V_2$ — объем пузырька на поверхности озера.

   • $P_1$ — давление на дне озера.

   • $P_2$ — давление на поверхности озера.

   • $T_1$ — температура на дне озера (17°C = 290 K).

   • $T_2$ — температура на поверхности озера (27°C = 300 K).

   • $k$ — постоянная газа, которая остается неизменной при температурных и давлений изменениях.

2. Закон Бойля-Мариотта:
   Изменение объема газа при постоянной температуре связано с изменением давления:

   $$P_1 V_1 = P_2 V_2$$

   Однако у нас также есть изменение температуры, так что воспользуемся уравнением состояния идеального газа.

3. Уравнение состояния идеального газа:
   Для двух состояний газа при разных температурах и давлениях можно записать:

   $$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$$

4. Условия задачи:

   • Объем пузырька увеличился в 2 раза, то есть $V_2 = 2 V_1$.

   • Температура на поверхности озера больше, чем на дне, следовательно, температура увеличивается.

   • Атмосферное давление на поверхности и давление на дне озера можно выразить через высоту водяного столба.

5. Давление на дне озера:
   Давление на дне озера $P_1$ состоит из атмосферного давления $P_0$ и давления столба воды. Давление столба воды можно выразить через плотность воды $\rho$, ускорение свободного падения $g$ и глубину озера $h$:

   $$P_1 = P_0 + \rho g h$$

   где:

   • $P_0$ — атмосферное давление на поверхности (примерно 101325 Па),

   • $\rho$ — плотность воды (около 1000 кг/м³),

   • $g$ — ускорение свободного падения (9,8 м/с²),

   • $h$ — глубина озера (что нам нужно найти).

6. Давление на поверхности озера:
   На поверхности озера давление $P_2$ равно только атмосферному давлению:

   $$P_2 = P_0$$

7. Подставляем в уравнение состояния газа:

   $$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$$

   Подставим $V_2 = 2 V_1$ и выражения для $P_1$ и $P_2$:

   $$\frac{(P_0 + \rho g h) V_1}{T_1} = \frac{P_0 (2 V_1)}{T_2}$$

   Упростим уравнение:

   $$\frac{P_0 + \rho g h}{T_1} = \frac{2 P_0}{T_2}$$

   Теперь выразим $h$ (глубину озера):

   $$P_0 + \rho g h = \frac{2 P_0 T_1}{T_2}$$ $$\rho g h = \frac{2 P_0 T_1}{T_2} - P_0$$ $$h$$