ванну объемом 100 л необходимо заполнить водой, имеющей температуру 30°C, используя воду с температурой 80°C и лед с температурой -20°C. Найдите массу льда, который нужно положить в ванну. Теплоемкостью ванны и потерями тепла можно пренебречь.

Для решения задачи используем принцип сохранения энергии, при котором общее количество тепла, отдаваемое горячей водой и льдом, должно быть равно количеству тепла, которое получит вода в ванной.

1. Масса горячей воды:

   Объем воды в ванной $V = 100 \, \text{л} = 0.1 \, \text{м}^3$.

   Плотность воды $\rho = 1000 \, \text{кг/м}^3$.

   Масса воды в ванной $m_{\text{вода}} = V \times \rho = 0.1 \times 1000 = 100 \, \text{кг}$.

2. Теплота, которую отдаст горячая вода:

   Для горячей воды температура изменится с 80°C до 30°C. Количество теплоты, которое отдаст горячая вода, можно найти по формуле:

   $$Q_{\text{вода}} = m_{\text{вода}} \cdot c_{\text{вода}} \cdot (T_{\text{нач}} - T_{\text{кон}}),$$

   где $c_{\text{вода}} = 4200 \, \text{Дж/(кг·°C)}$ — удельная теплоемкость воды, $T_{\text{нач}} = 80^\circ \text{C}$, $T_{\text{кон}} = 30^\circ \text{C}$.

   Подставляем данные:

   $$Q_{\text{вода}} = 100 \cdot 4200 \cdot (80 - 30) = 100 \cdot 4200 \cdot 50 = 21{,}000{,}000 \, \text{Дж}.$$

3. Теплота, которую получит лед:

   Лед должен нагреться от -20°C до 0°C, растопиться, а затем температура полученной воды увеличится до 30°C. Для этого нужно учесть несколько процессов:

   1. Нагрев льда от -20°C до 0°C:

      $$Q_{\text{нагрев}} = m_{\text{лед}} \cdot c_{\text{лед}} \cdot \Delta T,$$

      где $c_{\text{лед}} = 2100 \, \text{Дж/(кг·°C)}$, $\Delta T = 0 - (-20) = 20^\circ \text{C}$.

      $$Q_{\text{нагрев}} = m_{\text{лед}} \cdot 2100 \cdot 20 = 42{,}000 \cdot m_{\text{лед}}.$$

   2. Таяние льда при 0°C:

      $$Q_{\text{таяние}} = m_{\text{лед}} \cdot L_{\text{плав}} = m_{\text{лед}} \cdot 334{,}000 \, \text{Дж/кг},$$

      где $L_{\text{плав}} = 334{,}000 \, \text{Дж/кг}$ — удельная скрытая теплота плавления льда.

   3. Нагрев воды после таяния льда от 0°C до 30°C:

      $$Q_{\text{нагрев воды}} = m_{\text{лед}} \cdot c_{\text{вода}} \cdot \Delta T = m_{\text{лед}} \cdot 4200 \cdot 30 = 126{,}000 \cdot m_{\text{лед}}.$$

   Общее количество тепла, которое получит лед:

   $$Q_{\text{лед}} = Q_{\text{нагрев}} + Q_{\text{таяние}} + Q_{\text{нагрев воды}} = 42{,}000 \cdot m_{\text{лед}} + 334{,}000 \cdot m_{\text{лед}} + 126{,}000 \cdot m_{\text{лед}}.$$ $$Q_{\text{лед}} = m_{\text{лед}} \cdot (42{,}000 + 334{,}000 + 126{,}000) = m_{\text{лед}} \cdot 502{,}000.$$

4. Сохранение энергии:

   Количество тепла, которое отдаст горячая вода, должно быть равно количеству тепла, которое получит лед:

   $$Q_{\text{вода}} = Q_{\text{лед}}.$$

   Подставляем данные:

   $$21{,}000{,}000 = m_{\text{лед}} \cdot 502{,}000.$$