Спутник движется вокруг Земли по круговой орбите. Совершает ли работу действующая на спутник сила тяжести?

Короткий ответ: нет, не совершает.

Почему. Работа силы — это $dA=\vec F\cdot d\vec r=F\,dr\cos\varphi$. На круговой орбите гравитация направлена к центру (по радиусу), а мгновенное перемещение спутника $d\vec r$ — по касательной. Угол между ними $\varphi=90^\circ$, значит $\cos\varphi=0$ и $dA=0$ в каждый момент времени. Отсюда и мощность $P=\vec F\cdot\vec v=0$.

Эквивалентно через энергию: при круговой орбите скорость постоянна ($mv^2/r=GMm/r^2$), следовательно кинетическая энергия не меняется, а расстояние до Земли неизменно — потенциальная энергия тоже постоянна. Изменения механической энергии нет, значит суммарная работа равна нулю; так как действует только гравитация, её работа — нулевая.

Замечание для контекста: для эллиптических орбит гравитация может делать положительную работу на участке падения и отрицательную — на подъёме, но за полный оборот всё равно выйдет ноль. Для идеальной круговой — ноль в каждый момент.