Движутся ли заряженные частицы в проводнике, по которому не идёт ток? Если да, то как изменяется движение заряженных частиц в проводнике, когда по нему начинает идти ток?

Коротко: да, даже «без тока» заряженные частицы в металле двигаются — это быстрые хаотические тепловые движения электронов проводимости. Но их средняя (направленная) скорость равна нулю, поэтому суммарный ток нулевой.

Чуть подробнее по стадиям:

1) Проводник без тока.
Свободные электроны непрерывно движутся во все стороны из-за тепловой энергии (в металлах характерные скорости порядка $10^5\!-\!10^6\ \text{м/с}$). Движение хаотическое, поэтому усреднённая скорость $\langle \mathbf{v} \rangle = 0$ и плотность тока $\mathbf{j} = n q \langle \mathbf{v} \rangle = 0$.

2) Когда появляется ток.
При приложении напряжения вдоль проводника возникает электрическое поле $\mathbf{E}$. На фоне прежнего хаотического движения у электронов появляется крошечная дрейфовая составляющая скорости, направленная против $\mathbf{E}$ (и против принятого направления тока). Полное движение = «быстрый хаос» + «медленный дрейф». Из-за столкновений с решёткой дрейф стабилизируется на среднем значении:

(модель Друде; $\mu$ — подвижность, $\tau$ — среднее время между столкновениями, $\sigma$ — проводимость). Это и есть микроскопическая картинка закона Ома.

3) Насколько медленный «дрейф»?
Очень медленный. Для меди при токе $I=1\,\text{А}$ через проволоку площадью $A=1\,\text{мм}^2$:

тогда как тепловые скорости — на порядки выше. Поэтому движение электронов «становится направленным», но лишь в среднем; сами электроны всё так же носятся быстро и хаотично, просто их распределение немного смещается в одну сторону.

4) Про скорость «сигнала».
Хотя дрейф медленный, электромагнитное поле, задающее ток, распространяется вдоль цепи со скоростью, сравнимой с долей скорости света в среде. Поэтому ток практически сразу устанавливается по всему проводнику, а не «ждёт», пока отдельные электроны «добегут» от батарейки.

(В электролитах и полупроводниках роль носителей могут играть не только электроны, но и ионы или дырки, однако логика та же: без поля — хаотика и нулевой средний ток, с полем — хаотика плюс небольшая направленная дрейфовая составляющая.)