Мальчик массой 50 кг катится на скейте массой 10 кг по горизонтальной дороге со скоростью 1,5 м/с. Каким станет модуль скорости скейта, если мальчик прыгнет с него со скоростью 1 м/с относительно дороги в направлении, противоположном направлению движения?

Давайте решим эту задачу, применяя закон сохранения импульса. Так как система "мальчик + скейт" изолирована и внешних сил, изменяющих горизонтальный импульс системы, нет (предполагаем, что трение отсутствует), мы можем воспользоваться законом сохранения импульса.

Дано:

• Масса мальчика $m_1 = 50 \, \text{кг}$
• Масса скейта $m_2 = 10 \, \text{кг}$
• Начальная скорость системы $v_0 = 1{,}5 \, \text{м/с}$
• Скорость мальчика после прыжка относительно дороги $v_1' = 1 \, \text{м/с}$, причём в противоположном направлении движения

Задача:

Найти скорость скейта после прыжка $v_2'$.

Решение:

Исходя из закона сохранения импульса, сумма импульсов до и после прыжка должна быть одинакова, так как система замкнутая.

До прыжка: Импульс системы "мальчик + скейт" равен: $p_{\text{до}} = (m_1 + m_2) v_0 = (50 + 10) \cdot 1{,}5 = 60 \cdot 1{,}5 = 90 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}.$

После прыжка: Импульс системы разделится на импульс мальчика и импульс скейта: $p_{\text{после}} = m_1 v_1' + m_2 v_2'.$

Поскольку мальчик прыгает в противоположном направлении, его скорость берём со знаком "минус" относительно направления движения системы. Значит, его импульс будет отрицательным: $p_{\text{после}} = m_1 (-v_1') + m_2 v_2' = 50 \cdot (-1) + 10 \cdot v_2'.$

Итак, у нас есть уравнение сохранения импульса: $(m_1 + m_2) v_0 = m_1 (-v_1') + m_2 v_2'.$

Подставляем числовые значения: $90 = 50 \cdot (-1) + 10 \cdot v_2'.$ $90 = -50 + 10 v_2'.$ $10 v_2' = 90 + 50 = 140.$ $v_2' = \frac{140}{10} = 14 \, \text{м/с}.$

Ответ:

Модуль скорости скейта после прыжка мальчика будет $14 \, \text{м/с}$.