Математический маятник длиной 2,5 м совершает колебания с амплитудой 10 см. Напишите уравнение его движения x = x(t).

Для того чтобы записать уравнение движения математического маятника, необходимо учесть несколько факторов, таких как длина маятника, амплитуда колебаний и физические законы, управляющие его движением.

1. Основные параметры:

   • Длина маятника $L = 2,5 \, \text{м}$.

   • Амплитуда колебаний $A = 10 \, \text{см} = 0,1 \, \text{м}$.

2. Уравнение движения для математического маятника:

   Для математического маятника можно использовать уравнение, описывающее гармоническое движение. В случае малых углов отклонения угол $\theta$, под которым отклоняется маятник от вертикали, можно описывать с помощью синусоидальной функции времени:

   $$\theta(t) = \theta_0 \cos(\omega t + \varphi)$$

   Где:

   • $\theta_0$ — начальное отклонение (амплитуда углового отклонения).

   • $\omega$ — угловая частота колебаний.

   • $t$ — время.

   • $\varphi$ — начальная фаза (в данном случае можно принять её равной нулю, если не указано иное).

   Для маятника угловая частота $\omega$ выражается через длину маятника $L$ и ускорение свободного падения $g$ следующим образом:

   $$\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$$

   Где:

   • $g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения.

   • $L = 2,5 \, \text{м}$ — длина маятника.

   Подставим значения:

   $$\omega = \sqrt{\frac{9,8}{2,5}} \approx 1,98 \, \text{рад/с}$$

3. Приведение к уравнению для перемещения $x(t)$:

   Поскольку в математическом маятнике угол $\theta(t)$ связан с перемещением маятника вдоль дуги окружности, а перемещение маятника по дуге (путь $x(t)$) можно записать как:

   $$x(t) = L \theta(t)$$

   Тогда, подставив уравнение для $\theta(t)$:

   $$x(t) = L \theta_0 \cos(\omega t)$$

   Где $\theta_0$ — это максимальное угловое отклонение, которое можно вычислить через амплитуду колебаний маятника. Для малого угла отклонения $\theta_0$ будет связано с амплитудой перемещения $A$ следующим образом:

   $$\theta_0 = \frac{A}{L}$$

   Подставим значения:

   $$\theta_0 = \frac{0,1}{2,5} = 0,04 \, \text{рад}$$

4. Итоговое уравнение:

   Подставив это значение в уравнение для $x(t)$, получаем окончательное уравнение движения:

   $$x(t) = 0,04 \cdot 2,5 \cos(1,98 t) = 0,1 \cos(1,98 t)$$

   Таким образом, уравнение движения математического маятника:

   $$x(t) = 0,1 \cos(1,98 t)$$

   Где:

   • $x(t)$ — перемещение маятника в метрах в момент времени $t$,

   • $t$ — время в секундах.

Это уравнение описывает гармоническое движение маятника с амплитудой 0,1 м и угловой частотой 1,98 рад/с.