Шарик скользит по наклонному желобу, переходящему в вертикальную петлю радиусом 1 м. С какой высоты шарик должен начать движение, чтобы не оторваться в верхней точке петли?

Нужно, чтобы в верхней точке петли шарик ещё прижимался к желобу, то есть нормальная реакция не обращалась в ноль. В верхней точке к центру окружности (вниз) направлены сила тяжести $mg$ и сила реакции $N$. Условие «на грани отрыва» — это $N=0$. Тогда центростремительное равновесие даёт

Дальше — закон сохранения энергии (предполагаем скольжение без трения и без вращения, т.к. «скользит»):
если шарик стартует с высоты $h$ относительно нижней точки петли, то в верхней точке он поднялся на $2R$ и имеет скорость $v_\text{top}$:

Подставляем $v_\text{top}^2=gR$:

При $R=1\,\text{м}$:

Ответ: шарик должен начать движение с высоты $2{,}5$ м (от нижней точки петли).