Человек массой 80 кг наступил на плоскую льдину, плавающую в воде, и льдина вместе с человеком

Ответы на вопрос

Отвечает Ахметов Максат.

Для решения задачи нужно рассмотреть условия колебаний системы "льдина + человек" и определить параметры, влияющие на период колебаний. Период колебаний можно связать с плотностью льда, массой человека и геометрией льдины.

1. Используем формулу для периода колебаний:

Когда система совершает вертикальные колебания на воде, её период может быть описан формулой для колебаний по типу маятника:

T = 2\pi \sqrt{\frac{m_{\text{эфф}}}{k}}

где $T$ — период колебаний (в нашем случае 2 секунды), $m_{\text{эфф}}$ — эффективная масса системы (масса льдины и человека), а $k$ — эффективная жесткость системы, связанная с архимедовой силой, которая действует на льдину, вытесняющую воду.

Однако, для данной задачи проще воспользоваться аналогией с плавучестью и законами гидростатики. Мы можем считать, что период колебаний льдины в воде будет зависеть от плотности льда и толщины льдины, поскольку это связано с выталкивающей силой, которая стабилизирует систему.

2. Выразим массу льдины:

Площадь верхней поверхности льдины дана как 1 м². Толщину льдины обозначим за $h$ . Масса льдины равна её объёму, умноженному на плотность льда:

m_{\text{льдина}} = \rho_{\text{л}} \cdot S \cdot h

где:

$\rho_{\text{л}}$ — плотность льда (900 кг/м³),
$S$ — площадь льдины (1 м²),
$h$ — толщина льдины (ищем её).

3. Суммарная масса системы:

Общая масса системы, включая человека и льдину:

m_{\text{система}} = m_{\text{человек}} + m_{\text{льдина}}

m_{\text{система}} = 80 + 900 \cdot 1 \cdot h = 80 + 900h

4. Используем формулу периода колебаний для плавающей льдины:

Период колебаний льдины, плавающей на воде, также может быть выражен через характеристики льдины и воды. Формула для периода вертикальных колебаний плавающего объекта:

T = 2\pi \sqrt{\frac{m_{\text{система}}}{\rho_{\text{в}} g S}}

где:

$T = 2 \, \text{с}$ — период колебаний,
$\rho_{\text{в}}$ — плотность воды (1000 кг/м³),
$g = 9.8 \, \text{м/с²}$ — ускорение свободного падения,
$S = 1 \, \text{м²}$ — площадь льдины.

5. Подставим значения и решим уравнение:

Подставляем выражение для массы системы:

2 = 2\pi \sqrt{\frac{80 + 900h}{1000 \cdot 9.8 \cdot 1}}

Упрощаем уравнение:

1 = \pi \sqrt{\frac{80 + 900h}{9800}}

\frac{1}{\pi} = \sqrt{\frac{80 + 900h}{9800}}

Возведём обе части в квадрат:

\frac{1}{\pi^2} = \frac{80 + 900h}{9800}

Теперь выразим $h$ :

80 + 900h = \frac{9800}{\pi^2}

900h = \frac{9800}{\pi^2} - 80

Рассчитаем численное значение:

900h = \frac{9800}{9.8696} - 80

900h = 993.6 - 80

900h = 913.6

h = \frac{913.6}{900} \approx 1.015 \, \text{м}

Ответ:

Толщина льдины составляет приблизительно 1,015 метра.