Солдат выстрелил вертикально вверх. Начальная скорость пули 1000 м/с. Скорость звука 330 м/с. На какой высоте звук догонит пулю?

Короткий ответ: при пренебрежении сопротивлением воздуха звук догонит пулю на высоте примерно 4.51·10^4 м (≈ 45.1 км).

Детали решения.

Допущения: движение вдоль вертикали, постоянное ускорение свободного падения $g=9.8\ \text{м/с}^2$, сопротивлением воздуха пренебрегаем. Начальная скорость пули $v_0=1000\ \text{м/с}$. Скорость звука $c=330\ \text{м/с}$. Звук и пуля исходят одновременно из точки $y=0$.

Положение пули в момент $t$ (в секундах):

Положение звука:

Найдём момент встречи: $y_{\text{п}}(t)=y_{\text{з}}(t)$:

Отсюда $t=0$ (начало) или

Подставляем числа:

Высота встречи $y=c\,t$:

Пояснение: время подъёма пули до вершины $t_{\rm верш}=\dfrac{v_0}{g}\approx1000/9.8\approx102.0\ \text{с}$, то есть пуля успевает достичь апогея и уже идёт вниз к моменту встречи. В момент встречи скорость пули $v=v_0-gt\approx-340\ \text{м/с}$ (направлена вниз), а звук идёт вверх со скоростью $330\ \text{м/с}$, поэтому они сближаются.

Замечание о реалистичности: при реальном учёте сопротивления воздуха пуля далеко не достигла бы такой высоты — сопротивление значительно уменьшает пробег и максимальную высоту, так что численное значение ~45 км — результат идеализированной модели без сопротивления воздуха.