В2.Два проводящих шара, радиусы которых R1 = 15 мм и R2 = 45 мм, находятся на большом расстоянии

Ответы на вопрос

Отвечает Ярославлева София.

Решим задачу пошагово, чтобы понять принцип, как решаются подобные задачи.

1. Понимание задачи и условий

У нас есть два проводящих шара, радиусы которых:

$R_1 = 15 \ \text{мм} = 0{,}015 \ \text{м}$ ,
$R_2 = 45 \ \text{мм} = 0{,}045 \ \text{м}$ .

Первый шар имеет потенциал $\varphi_1 = 8 \ \text{В}$ , а второй не заряжен, то есть его начальный потенциал равен нулю ( $\varphi_2 = 0$ ).

2. Соединение шаров проводником

Когда два проводящих тела соединяются проводником, их потенциалы выравниваются. Это значит, что после соединения потенциалы обоих шаров станут одинаковыми.

Обозначим общий потенциал после соединения как $\varphi$ . Так как проводники находятся в равновесии, на обоих шарах будет один и тот же потенциал $\varphi$ .

3. Зависимость заряда от потенциала и емкости

Для сферического проводника заряд $Q$ и потенциал $\varphi$ связаны соотношением:

Q = C \cdot \varphi

где $C$ — емкость проводника. Емкость проводящего шара радиуса $R$ в вакууме определяется формулой:

C = 4 \pi \varepsilon_0 R

где $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная, равная примерно $8{,}85 \times 10^{-12} \ \text{Ф/м}$ .

4. Запишем уравнения для суммарного заряда

До соединения шаров заряд второго шара равен нулю, а заряд первого шара $Q_1$ можно найти через его потенциал и емкость:

Q_1 = C_1 \cdot \varphi_1 = 4 \pi \varepsilon_0 R_1 \cdot \varphi_1

Поскольку второй шар изначально не заряжен, его начальный заряд $Q_2 = 0$ .

После соединения заряд суммарно распределится между шарами, и суммарный заряд $Q_\text{total}$ останется таким же, как был до соединения:

Q_\text{total} = Q_1 + Q_2 = 4 \pi \varepsilon_0 R_1 \cdot \varphi_1

Этот заряд теперь распределится между двумя шарами с равным потенциалом $\varphi$ , и у нас получится:

Q_\text{total} = C_1 \cdot \varphi + C_2 \cdot \varphi = (C_1 + C_2) \cdot \varphi

5. Подставим значения емкостей

Теперь можно выразить общий потенциал:

\varphi = \frac{Q_\text{total}}{C_1 + C_2}

Подставим значения для емкостей $C_1$ и $C_2$ :

C_1 = 4 \pi \varepsilon_0 R_1

C_2 = 4 \pi \varepsilon_0 R_2

Тогда:

\varphi = \frac{4 \pi \varepsilon_0 R_1 \cdot \varphi_1}{4 \pi \varepsilon_0 (R_1 + R_2)}

Сокращаем $4 \pi \varepsilon_0$ и получаем:

\varphi = \frac{R_1 \cdot \varphi_1}{R_1 + R_2}

6. Подставим численные значения

Подставим значения $R_1 = 0{,}015 \ \text{м}$ , $R_2 = 0{,}045 \ \text{м}$ , и $\varphi_1 = 8 \ \text{В}$ :

\varphi = \frac{0{,}015 \cdot 8}{0{,}015 + 0{,}045} = \frac{0{,}12}{0{,}06} = 2 \ \text{В}