Как изменится период обращения заряженной частицы в циклотроне при увеличении её скорости в 2 раза? Рассмотрите нерелятивистский случай (υ << c).

Короткий ответ: не изменится.

Подробно. В однородном магнитном поле $\mathbf{B}$ заряженная частица массы $m$ и заряда $q$ движется по окружности с циклотронной (ларморовой) частотой

а период обращения

В нерелятивистском приближении $m$ — постоянная масса покоя, поэтому ни $\omega_c$, ни $T$ не зависят от скорости частицы. При увеличении скорости радиус орбиты $r=\frac{mv}{qB}$ вырастает пропорционально $v$, но угловая скорость $\omega_c$ остаётся прежней, и значит период тоже остаётся прежним.

Итак, при увеличении скорости в 2 раза период обращения в циклотроне (в нерелятивистском случае) остаётся тем же.