Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ(t) = А + Вt + Сt², где А = 10 рад, В = 20 рад/с, С = -2 рад/с². Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии 0,1 м от оси вращения, для момента времени 4 с.

Для нахождения полного ускорения точки, вращающейся вокруг неподвижной оси, нужно учитывать два компонента ускорения: тангенциальное и центростремительное.

1. Дано:

• Закон угла поворота: $\varphi(t) = A + Bt + Ct^2$, где

  • $A = 10 \, \text{рад}$,

  • $B = 20 \, \text{рад/с}$,

  • $C = -2 \, \text{рад/с}^2$.

• Расстояние от оси вращения $r = 0,1 \, \text{м}$.

• Момент времени $t = 4 \, \text{с}$.

2. Определим угловую скорость и угловое ускорение.

• Угловая скорость $\omega(t)$ — это первая производная угла по времени:

  $$\omega(t) = \frac{d\varphi(t)}{dt} = B + 2Ct.$$

  Подставим значения $B = 20 \, \text{рад/с}$ и $C = -2 \, \text{рад/с}^2$:

  $$\omega(t) = 20 + 2(-2) \cdot t = 20 - 4t.$$

  На момент времени $t = 4 \, \text{с}$:

  $$\omega(4) = 20 - 4 \cdot 4 = 20 - 16 = 4 \, \text{рад/с}.$$

• Угловое ускорение $\alpha(t)$ — это вторая производная угла по времени:

  $$\alpha(t) = \frac{d\omega(t)}{dt} = 2C.$$

  Подставим значение $C = -2$:

  $$\alpha(t) = 2(-2) = -4 \, \text{рад/с}^2.$$

3. Определим компоненты ускорения.

• Тангенциальное ускорение $a_t$ вычисляется как:

  $$a_t = r \cdot \alpha(t).$$

  Подставим значения $r = 0,1 \, \text{м}$ и $\alpha(t) = -4 \, \text{рад/с}^2$:

  $$a_t = 0,1 \cdot (-4) = -0,4 \, \text{м/с}^2.$$

  Это ускорение направлено по касательной к траектории.

• Центростремительное ускорение $a_c$ вычисляется как:

  $$a_c = r \cdot \omega(t)^2.$$

  Подставим значения $r = 0,1 \, \text{м}$ и $\omega(4) = 4 \, \text{рад/с}$:

  $$a_c = 0,1 \cdot 4^2 = 0,1 \cdot 16 = 1,6 \, \text{м/с}^2.$$

  Это ускорение направлено к оси вращения.

4. Полное ускорение.

Полное ускорение $a$ — это векторная сумма тангенциального и центростремительного ускорений. Поскольку эти ускорения направлены перпендикулярно друг другу, то полное ускорение вычисляется по теореме Пифагора:

Подставим значения $a_t = -0,4 \, \text{м/с}^2$ и $a_c = 1,6 \, \text{м/с}^2$:

Ответ:

Полное ускорение точки на расстоянии 0,1 м от оси вращения для момента времени 4 с равно примерно $1,65 \, \text{м/с}^2$