Из проволоки сопротивлением 10 Ом сделано кольцо. Где следует присоединить провода, пороводящий ток, чтобы сопротивление цепи равнялось 1 Ом ?

Пусть у кольца полное сопротивление $R=10\,\Omega$. Если подключить два провода в двух точках, кольцо разобьётся на две дуги с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$, причём

Нужно $R_{\text{экв}}=1\,\Omega\Rightarrow R_1R_2=10$.

Решаем систему:

Это даёт корни уравнения $x(10-x)=10\Rightarrow x^2-10x+10=0$:

Так как сопротивление пропорционально длине, провода нужно присоединить в двух точках, которые делят кольцо на дуги в отношении длин $\approx 8{,}87:1{,}13\approx 7{,}87:1$ (короткая дуга около $11{,}27\%$ окружности, то есть примерно $40{,}6^\circ$). Тогда эквивалентное сопротивление между проводами будет ровно $1\,\Omega$.