Тело массой m, брошенное с поверхности земли вертикально вверх с начальной скоростью v0, поднялось на максимальную высоту h0. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Полная механическая энергия тела на некоторой промежуточной высоте h равна:
1) mgh
2) mgh0
3) mgh + mv0^2\2
4) mgh0 + mv0^2\2

Чтобы ответить на этот вопрос, начнем с анализа движения тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v0. В данном случае мы можем использовать закон сохранения механической энергии, поскольку находимся в условиях, когда сопротивление воздуха пренебрежимо мало.

1. Начальная энергия: Когда тело только начинает движение, его полная механическая энергия $E_0$ состоит из кинетической и потенциальной энергии:

   $$E_0 = \frac{1}{2} mv_0^2 + mgh_0,$$

   где $h_0$ — начальная высота, которая в данном случае равна нулю, так как тело брошено с поверхности земли. Таким образом, начальная энергия будет равна:

   $$E_0 = \frac{1}{2} mv_0^2.$$

2. Энергия на максимальной высоте: Когда тело достигнет максимальной высоты $h_0$, его скорость станет равной нулю, и вся кинетическая энергия преобразуется в потенциальную. Полная механическая энергия на максимальной высоте будет:

   $$E_{h_0} = mgh_0,$$

   где $h_0$ — максимальная высота, на которую поднимется тело.

3. Энергия на промежуточной высоте h: Теперь рассмотрим промежуточную высоту $h$. На этой высоте тело будет иметь как потенциальную, так и кинетическую энергию. Потенциальная энергия на высоте $h$ равна $mgh$, а кинетическая энергия в этот момент будет равна $\frac{1}{2} mv^2$, где $v$ — скорость тела на высоте $h$.

Согласно закону сохранения механической энергии, полная механическая энергия на высоте $h$ должна быть равна первоначальной механической энергии. Таким образом, у нас будет следующее уравнение:

На высоте $h$ полная механическая энергия будет выражаться как:

Если мы возьмем во внимание, что на максимальной высоте $h_0$ потенциальная энергия равна $mgh_0$, то мы можем выразить кинетическую энергию через высоту:

Это уравнение показывает, что полная механическая энергия тела на высоте $h$ равна сумме потенциальной энергии на высоте $h$ и кинетической энергии на этой же высоте. Таким образом, окончательно можем записать:

что соответствует варианту 4) $mgh_0 + \frac{1}{2} mv_0^2$.

Таким образом, правильный ответ на вопрос: 4) mgh0 + mv0^2/2.