Частица движется по окружности радиусом R = 1 м в соответствии с уравнением φ(t) = 2π(t^2-6t+12), где φ - в радианах, t - в секундах. Найдите время движения диска до остановки. Сколько оборотов N сделает диск за это время?

Для решения задачи разберёмся с уравнением, которое описывает движение частицы по окружности:

где $\phi(t)$ – угловое положение частицы в радианах, $t$ – время в секундах. Угловая скорость частицы (ω) определяется как производная углового положения по времени:

Вычислим производную от $\phi(t)$:

1. Представим $\phi(t) = 2\pi(t^2 - 6t + 12)$ и возьмём её производную по $t$:

   $$\omega(t) = \frac{d\phi(t)}{dt} = 2\pi \cdot (2t - 6)$$

   Получаем:

   $$\omega(t) = 4\pi t - 12\pi$$

2. Найдём момент времени, когда диск остановится, то есть когда угловая скорость $\omega(t)$ станет равной нулю:

   $$\omega(t) = 4\pi t - 12\pi = 0$$

   Разделим обе части уравнения на $4\pi$:

   $$t - 3 = 0$$

   Отсюда:

   $$t = 3 \, \text{с}$$

Итак, диск остановится через 3 секунды.

3. Теперь определим, сколько оборотов $N$ сделает диск за это время. Для этого найдём, чему равно угловое перемещение $\phi(3)$, и разделим его на $2\pi$, так как один полный оборот соответствует углу $2\pi$ радиан.

   Подставим $t = 3$ в исходное уравнение для $\phi(t)$:

   $$\phi(3) = 2\pi(3^2 - 6 \cdot 3 + 12)$$

   Вычислим значения внутри скобок:

   $$\phi(3) = 2\pi(9 - 18 + 12) = 2\pi \cdot 3 = 6\pi \, \text{радиан}$$

4. Теперь найдём количество оборотов $N$, разделив угловое перемещение на $2\pi$:

   $$N = \frac{\phi(3)}{2\pi} = \frac{6\pi}{2\pi} = 3$$

Таким образом, диск сделает $N = 3$ оборота до остановки.