Во сколько раз отличаются промежутки времени движения шарика на первом и на последних дециметрах пути?​

Чтобы ответить на вопрос о том, во сколько раз отличаются промежутки времени движения шарика на первом и на последних дециметрах пути, нужно учитывать законы движения тел с ускорением. Предположим, что шарик движется равноускоренно (например, под действием силы тяжести по наклонной плоскости) без начальной скорости.

Пояснение подхода:

1. Равномерно ускоренное движение: Если шарик движется с постоянным ускорением $a$, то расстояние $s$, пройденное за время $t$, определяется формулой:

   $$s = \frac{1}{2} a t^2$$

2. Первый дециметр пути: В первый дециметр шарик проходит начальный путь, где его скорость ещё относительно мала. Время $t_1$, за которое шарик проходит этот первый дециметр, можно найти, используя формулу расстояния:

   $$s_1 = \frac{1}{2} a t_1^2$$

   Подставив $s_1 = 0{,}1$ метра (1 дециметр), решаем для $t_1$:

   $$t_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot s_1}{a}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0{,}1}{a}} = \sqrt{\frac{0{,}2}{a}}$$

3. Последний дециметр пути: На последнем дециметре пути шарик уже разогнался, и его скорость больше, чем в начале пути. Пройденное расстояние до последнего дециметра обозначим как $S - 0{,}1$, где $S$ — полная длина пути. Скорость $v$ к этому моменту определяется как:

   $$v = \sqrt{2 a S}$$

   Теперь время $t_{\text{last}}$, которое требуется для прохождения последнего дециметра, определяется как:

   $$t_{\text{last}} = \frac{0{,}1}{v} = \frac{0{,}1}{\sqrt{2 a (S - 0{,}1)}}$$

4. Соотношение времён: Чтобы найти во сколько раз отличается время на первом дециметре от времени на последнем дециметре, берём отношение:

   $$\frac{t_1}{t_{\text{last}}} = \frac{\sqrt{\frac{0{,}2}{a}}}{\frac{0{,}1}{\sqrt{2 a (S - 0{,}1)}}}$$

   После упрощения это отношение зависит от пути $S$, и мы видим, что для длинного пути $S$ время на последних дециметрах пути гораздо меньше, чем на первом дециметре.

Заключение:

Таким образом, промежуток времени, который шарик затрачивает на прохождение последнего дециметра пути, значительно меньше промежутка времени для первого дециметра. Чем больше путь $S$, тем сильнее выражена эта разница, так как скорость на последних участках гораздо выше из-за разгона.