Горизонтальный пружинный маятник состоящий из шарика и пружины совершает гармонические колебания.

Ответы на вопрос

Отвечает Шинтемиров Мадияр.

Для того чтобы записать закон движения шарика в горизонтальном пружинном маятнике, необходимо использовать параметры, данные в задаче.

Данные задачи:

Масса шарика: $m = 50 \, \text{г} = 0.05 \, \text{кг}$
Период колебаний: $T = 0.2 \, \text{с}$
Начальная энергия системы: $E = 0.02 \, \text{Дж}$
Начальное отклонение (амплитуда): $x_0 = 2.5 \, \text{см} = 0.025 \, \text{м}$

Шаг 1: Определение частоты колебаний

Для гармонического осциллятора период колебаний связан с его частотой через формулу:

T = \frac{2\pi}{\omega}

где $\omega$ — угловая частота колебаний.

Из этой формулы можно выразить угловую частоту:

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.2} = 31.42 \, \text{рад/с}

Шаг 2: Запись закона движения

Закон гармонического колебания для координаты $x(t)$ можно записать в виде:

x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)

где:

$A$ — амплитуда колебаний (максимальное отклонение от положения равновесия),
$\omega$ — угловая частота,
$\varphi$ — фаза, определяющая начальное положение и скорость.

Шаг 3: Определение амплитуды и фазы

Мы знаем, что в начальный момент времени (при $t = 0$ ) шарик находится на расстоянии 2,5 см от положения равновесия. Это означает, что $x(0) = x_0 = 0.025 \, \text{м}$ .

Подставляем $t = 0$ в уравнение движения:

x(0) = A \cos(\varphi) = 0.025

Таким образом, у нас есть выражение:

A \cos(\varphi) = 0.025

Для упрощения примем, что $\varphi = 0$ , то есть начальное отклонение совпадает с максимальным, и тогда $A = 0.025$ .

Шаг 4: Проверка энергии системы

Энергия системы в гармоническом осцилляторе определяется как сумма кинетической и потенциальной энергии. Наибольшая энергия системы будет в момент максимального отклонения, когда вся энергия является потенциальной. Энергия можно выразить как:

E = \frac{1}{2} k A^2

где $k$ — жесткость пружины. Нам дана энергия системы $E = 0.02 \, \text{Дж}$ , и мы знаем, что амплитуда $A = 0.025 \, \text{м}$ . Таким образом, можем найти жесткость пружины:

0.02 = \frac{1}{2} k (0.025)^2

Решая это уравнение, находим:

k = \frac{2 \times 0.02}{(0.025)^2} = \frac{0.04}{0.000625} = 64 \, \text{Н/м}

Шаг 5: Запись уравнения движения

Теперь у нас есть все данные для окончательной записи уравнения движения:

x(t) = 0.025 \cos(31.42 t)

Это и есть закон движения шарика.