С высоты 5 метров бросают вертикально вверх с начальной скоростью 2 м\с тело малых размеров массой 0,2 кг. найдите а какую глубину тело входит в грунт при падении на Землю, если средняя сила сопротивления грунта движению тела равна 208 Н. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Для решения задачи рассмотрим два этапа движения тела: его подъем вверх, а затем падение и вхождение в грунт.

1. Подъем вверх:

Тело бросают вверх с начальной скоростью 2 м/с. Используем стандартные уравнения кинематики для вертикального движения с учетом ускорения свободного падения $g = 9,8 \, м/с^2$ (вниз).

На высоте максимального подъема скорость тела станет равной нулю. Найдем эту высоту:

Уравнение для скорости тела в момент времени $t$ при вертикальном движении:

где:

• $v_0 = 2 \, м/с$ — начальная скорость вверх,
• $v = 0$ — скорость в верхней точке траектории,
• $g = 9,8 \, м/с^2$ — ускорение свободного падения.

Решим это уравнение для времени $t$ подъема:

Теперь найдем высоту, на которую поднимется тело, используя формулу для перемещения при равномерном ускорении:

То есть, тело поднимется на высоту 0,204 м (или 20,4 см).

2. Падение и вхождение в грунт:

После того как тело достигнет максимальной высоты, оно начнет падать обратно вниз. Когда тело столкнется с грунтом, оно будет проникать в него на некоторое расстояние до полной остановки. Сопротивление грунта в этом случае оказывает средняя сила $F_{\text{грунт}} = 208 \, Н$.

Мы можем применить второй закон Ньютона для расчета глубины проникновения. Для этого необходимо использовать работу силы сопротивления грунта, которая равна изменению кинетической энергии тела.

На момент падения скорость тела можно найти по формуле кинетической энергии:

где $m = 0,2 \, кг$ — масса тела, а $v$ — скорость тела перед ударом о грунт. Скорость тела в момент удара можно найти через закон сохранения энергии. Общая механическая энергия на высоте 5 м (начальная) равна потенциальной энергии, а на момент удара — полной механической энергии, которая представляет собой сумму потенциальной и кинетической энергии.

Начальная потенциальная энергия на высоте 5 м:

При падении вся эта потенциальная энергия переходит в кинетическую. На момент удара тело будет иметь кинетическую энергию $E_k = 9,8 \, Дж$, так как на этой высоте скорость равна нулю, а потенциальная энергия равна 9,8 Дж.

Теперь используем работу силы сопротивления грунта, чтобы найти глубину проникновения. Работа силы сопротивления при проникновении в грунт равна:

где $F_{\text{грунт}} = 208 \, Н$ — сила сопротивления, $d$ — глубина проникновения.

Эта работа должна равняться потере кинетической энергии тела:

Тогда глубина $d$ вычисляется как:

Итак, глубина, на которую тело входит в грунт, составляет примерно 4,71 см.