К потолку комнаты высотой 4 м прикреплено светящееся панно-лампа в виде квадрата со стороной 2 м.

Ответы на вопрос

Отвечает Михеева Катя.

Для решения задачи сначала разберем её ключевые моменты.

Исходные данные:

Комната имеет высоту $h = 4 \, \text{м}$ .
Светящееся панно-лампа расположено на потолке и представляет собой квадрат со стороной $a = 2 \, \text{м}$ . Это означает, что его центр находится на высоте $z_1 = 4 \, \text{м}$ .
Непрозрачный квадрат, который отбрасывает тень, расположен на высоте $z_2 = 2 \, \text{м}$ и параллелен полу. Его сторона также равна $b = 2 \, \text{м}$ .
Центры лампы и квадрата расположены на одной вертикальной линии.

Задача состоит в определении суммарной площади тени и полутени на полу.

План решения:

Определим границы тени и полутени: Тень от краёв непрозрачного квадрата будет отбрасываться на пол под углом, определяемым положением лампы и квадрата. Это создаст область полной тени и область полутени вокруг неё.
Найдём геометрию тени: Для этого используем принцип подобия треугольников.
Разделим площадь на тень и полутень:
- Полная тень образуется из-за того, что отрезок лампы полностью закрывается квадратом.
- Полутень образуется из-за того, что часть света, исходящая от лампы, достигает пола, но квадрат перекрывает часть источника света.

Шаг 1: Определение пропорций для тени

Высота от лампы до квадрата:

h_1 = z_1 - z_2 = 4 - 2 = 2 \, \text{м}.

Высота от квадрата до пола:

h_2 = z_2 - 0 = 2 \, \text{м}.

Область тени на полу формируется, так как свет от лампы, проходящий через края квадрата, достигает пола. Используем подобие треугольников для определения размеров полной тени:

\frac{x}{h_1} = \frac{X}{h_1 + h_2}.

Здесь:

$x = 1 \, \text{м}$ — половина стороны квадрата на высоте $z_2$ ,
$X$ — половина стороны тени на полу.

Подставим значения:

\frac{1}{2} = \frac{X}{4}.

Отсюда:

X = 2 \, \text{м}.

Таким образом, длина стороны тени на полу равна:

L_{\text{тень}} = 2 \cdot X = 4 \, \text{м}.

Шаг 2: Полная тень

Полная тень образуется на полу из-за того, что квадрат на высоте $z_2$ полностью закрывает часть лампы. Размер полной тени совпадает с размером лампы. То есть:

L_{\text{полная}} = 2 \, \text{м}.

Площадь полной тени:

S_{\text{полная}} = L_{\text{полная}}^2 = 2^2 = 4 \, \text{м}^2.

Шаг 3: Полутень

Полутень находится за пределами полной тени, между размерами тени от лампы и квадрата. Полутень покрывает область между размерами лампы ( $2 \, \text{м}$ ) и размерами тени на полу ( $4 \, \text{м}$ ).

Общая площадь проекции света от лампы на полу:

S_{\text{общая}} = L_{\text{тень}}^2 = 4^2 = 16 \, \text{м}^2.

Площадь полутени равна разности между площадью всей освещённой зоны и площадью полной тени:

S_{\text{полутень}} = S_{\text{общая}} - S_{\text{полная}} = 16 - 4 = 12 \, \text{м}^2.

Итог:

Суммарная площадь тени и полутени на полу равна:

S_{\text{суммарная}} = S_{\text{полная}} + S_{\text{полутень}} = 4 + 12 = 16 \, \text{м}^2.

Ответ: Суммарная площадь тени и полутени на полу составляет $16 \, \text{м}^2$ .