Грузовой автомобиль массой M c двумя ведущими осями тянет за нерастяжимый трос вверх по уклону легковой автомобиль, масса которого m = 1 т, с выключенным двигателем. Автомобили движется с ускорением а = 0,6 м/с2. Какова минимально возможная масса М, если угол уклона α=arcsin 0,1, а коэффициент трения между шинами грузового автомобиля и дорогой μ=0,2? Силой трения качения, действующей на легковой автомобиль можно пренебречь. Массой колес пренебречь.

Для того чтобы найти минимально возможную массу грузового автомобиля, нужно рассмотреть силы, действующие на обе машины, и применить законы динамики. Пойдем поэтапно.

Дано:

• Масса легкового автомобиля $m = 1000 \, \text{кг}$ (или 1 тонна).
• Ускорение $a = 0,6 \, \text{м/с}^2$.
• Угол наклона дороги $\alpha = \arcsin(0,1)$, откуда $\sin\alpha = 0,1$.
• Коэффициент трения $\mu = 0,2$.
• Сила трения качения на легковом автомобиле не учитывается.
• Массой колес пренебрегаем.

1. Силы, действующие на легковой автомобиль:

Для легкового автомобиля, находящегося на уклоне, действуют следующие силы:

• Сила тяжести: $F_g = m \cdot g$, где $g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2$.

  $$F_g = 1000 \cdot 9,8 = 9800 \, \text{Н}.$$

• Сила трения с дорогой: $F_{\text{тр}} = \mu N_1$, где $N_1$ — сила нормали, которая равна компоненте силы тяжести, действующей перпендикулярно поверхности дороги. Так как $\alpha = \arcsin(0,1)$, то $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - 0,01} = \sqrt{0,99} \approx 0,995$. Сила нормали:

  $$N_1 = m \cdot g \cdot \cos\alpha = 1000 \cdot 9,8 \cdot 0,995 = 9750,2 \, \text{Н}.$$

  Тогда сила трения:

  $$F_{\text{тр}} = \mu \cdot N_1 = 0,2 \cdot 9750,2 = 1950,04 \, \text{Н}.$$

• Компонента силы тяжести, действующая вдоль уклона:

  $$F_{\text{г}||} = m \cdot g \cdot \sin\alpha = 1000 \cdot 9,8 \cdot 0,1 = 980 \, \text{Н}.$$

Теперь применим второй закон Ньютона для легкового автомобиля. Сила, обеспечивающая его движение вверх, это сила натяжения троса $T$, которая преодолевает силы трения и силы тяжести вдоль уклона. Таким образом, для легкового автомобиля выполняется уравнение:

Подставим значения:

2. Силы, действующие на грузовой автомобиль:

Грузовой автомобиль тянет легковой автомобиль с помощью троса. На грузовой автомобиль действуют следующие силы:

• Сила тяжести $F_{\text{г}} = M \cdot g$.
• Сила трения между колесами грузового автомобиля и дорогой: $$F_{\text{тр, груз}} = \mu \cdot N_2 = \mu \cdot M \cdot g \cdot \cos\alpha.$$
• Сила натяжения троса, которая направлена против его движения, и равна $T$, что мы уже нашли: $$T = 3530,04 \, \text{Н}.$$

Для грузового автомобиля уравнение движения будет:

где $F_{\text{тр, груз}} = \mu \cdot M \cdot g \cdot \cos\alpha$. Подставим в уравнение:

Упростим:

Теперь решим это уравнение относительно $M$: