На поверхность воды капают раствор подсолнечного масла в бензине. Сначала на поверхности воды образуется круглое радужное пятно, затем бензин испаряется, пятно исчезает. Посыпание поверхности воды тальком через тонкое ситечко позволяет обнаружить границы невидимого до того масляного пятна диаметром 20 см. Оцените по этим данным размер молекул масла в бензине 0.1% (по объёму), а объём капли бензина 0.05 мл. Плотность бензина и масла примерно равны.

Давайте попробуем шаг за шагом оценить размер молекул масла в бензине.

1. Исходные данные:

   • Масло растворено в бензине в концентрации 0.1% по объему.
   • Объем капли бензина — 0.05 мл.
   • После испарения бензина на поверхности воды остается пятно диаметром 20 см.
   • Плотности масла и бензина примерно одинаковы, следовательно, можно считать, что масса масла и бензина пропорциональны их объемам.

2. Объем масла в капле: Так как концентрация масла в бензине составляет 0.1% по объему, объем масла в одной капле бензина будет:

   $$V_{\text{масло}} = 0.1\% \times 0.05 \, \text{мл} = 0.00005 \, \text{мл}.$$

3. Площадь масляного пятна: Когда бензин испаряется, остаётся масляное пятно на поверхности воды диаметром 20 см. Площадь этого пятна можно найти по формуле площади круга:

   $$S = \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 = \pi \left( \frac{20 \, \text{см}}{2} \right)^2 = \pi \times 10^2 = 314.16 \, \text{см}^2.$$

   Это площадь поверхности, которую занимает масло.

4. Толщина масляного слоя: Масло в бензине образует тонкий слой на поверхности воды. Для того чтобы оценить толщину этого слоя, нужно воспользоваться формулой для объема, где объем масла равен произведению площади пятна на толщину слоя:

   $$V_{\text{масло}} = S \times h,$$

   где $h$ — толщина слоя масла. Подставим известные значения:

   $$0.00005 \, \text{мл} = 314.16 \, \text{см}^2 \times h.$$

   Переведем объем в кубические сантиметры:

   $$0.00005 \, \text{мл} = 0.00005 \, \text{см}^3.$$

   Таким образом:

   $$0.00005 = 314.16 \times h \quad \Rightarrow \quad h = \frac{0.00005}{314.16} = 1.59 \times 10^{-7} \, \text{см}.$$

   Это толщина слоя масла на поверхности воды.

5. Оценка размера молекул масла: Для того чтобы оценить размер молекул, мы будем считать, что масло состоит из молекул одинакового размера, которые покрывают всю поверхность пятна. Площадь пятна (314.16 см²) делится на количество молекул, а объем каждой молекулы можно оценить через объем масла в капле и предполагаемое количество молекул в этом объеме.

   Площадь одного слоя молекул, который укладывается на пятно, составляет:

   $$S_{\text{молекулы}} = a^2,$$

   где $a$ — это размер молекул масла.

   Теперь найдем количество молекул, которые составляют слой масла. Для этого нужно объем масла разделить на объем одной молекулы. Объем масла в капле — это 0.00005 мл, или 0.00005 см³.

   Число молекул в этом объеме будет равно:

   $$N = \frac{V_{\text{масло}}}{V_{\text{молекулы}}} = \frac{0.00005 \, \text{см}^3}{a^3}.$$

   Количество молекул также можно найти, используя площадь пятна и толщину слоя масла:

   $$N = \frac{S}{a^2 \cdot h} = \frac{314.16 \, \text{см}^2}{a^2 \times 1.59 \times 10^{-7} \, \text{см}}.$$

   Теперь приравняем оба выражения для $N$:

   $$\frac{0.00005}{a^3} = \frac{314.16}{a^2 \times 1.59 \times 10^{-7}}.$$

   Упростим это уравнение:

   $$\frac{0.00005}{a^3} = \frac{314.16}{a^2 \times 1.59 \times 10^{-7}} \quad \Rightarrow \quad 0.00005 \times a^2 = 314.16 \times 1.59 \times 10^{-7}.$$

   Подставим числовые значения:

   $$0.00005 \times a^2 = 4.99 \times 10^{-5} \quad \Rightarrow \quad a^2 = \frac{4.99 \times 10^{-5}}{0.00005} = 1.$$

   Следовательно, размер молекул масла:

   $$a = 10^{-5} \, \text{см} = 0.1 \, \mu\text{м}.$$

Таким образом, размер молекул масла в бензине составляет примерно 0.1 мкм.