1) На сколько градусов нагреется кусок свинца, если он упадёт с высоты 26 м на плиту? Считать, что вся кинетическая энергия свинца переходит во внутреннюю? 2) В вертикальном цилиндрическом сосуде площадью поперечного сечения S на высоте h от основания находится поршень массой m. Под поршнем находится одноатомный газ. Атмосферное давление Р нулевое. Пренебрегая трением, определите внутреннюю энергию газа под поршнем.

1. Нагревание свинца при падении

Для решения задачи определим, как кинетическая энергия свинца при ударе переходит в его внутреннюю энергию, что приводит к нагреву.

Дано:

• Высота падения $h = 26 \, \text{м}$,
• Ускорение свободного падения $g = 9.8 \, \text{м/с}^2$,
• Удельная теплоёмкость свинца $c = 130 \, \text{Дж/(кг·°C)}$.

Решение:

1. Полная потенциальная энергия свинца до падения:

   $$E_{\text{потенциальная}} = m \cdot g \cdot h,$$

   где $m$ — масса свинца.

2. При ударе эта энергия превращается во внутреннюю энергию $Q$, которая определяется как:

   $$Q = m \cdot c \cdot \Delta T,$$

   где $\Delta T$ — изменение температуры свинца.

3. Приравниваем потенциальную энергию к внутренней:

   $$m \cdot g \cdot h = m \cdot c \cdot \Delta T.$$

4. Массы сокращаются:

   $$g \cdot h = c \cdot \Delta T.$$

5. Выразим $\Delta T$:

   $$\Delta T = \frac{g \cdot h}{c}.$$

6. Подставляем численные значения:

   $$\Delta T = \frac{9.8 \cdot 26}{130} \approx 1.96 \, \text{°C}.$$

Ответ: Кусок свинца нагреется на $1.96 \, \text{°C}$.

2. Внутренняя энергия газа под поршнем

Дано:

• Площадь поперечного сечения цилиндра $S$,
• Высота поршня $h$,
• Масса поршня $m$,
• Давление вне цилиндра $P = 0$,
• Газ — одноатомный.

Решение:

1. Давление газа под поршнем создаётся только за счёт силы тяжести поршня:

   $$P_{\text{газа}} = \frac{F_{\text{тяж}}}{S} = \frac{m \cdot g}{S}.$$

2. Объём газа под поршнем:

   $$V = S \cdot h.$$

3. Внутренняя энергия одноатомного газа определяется формулой:

   $$U = \frac{3}{2} \cdot P \cdot V.$$

4. Подставляем выражения для давления и объёма:

   $$U = \frac{3}{2} \cdot \frac{m \cdot g}{S} \cdot (S \cdot h).$$

5. Сокращаем $S$:

   $$U = \frac{3}{2} \cdot m \cdot g \cdot h.$$

Ответ: Внутренняя энергия газа под поршнем равна: