Для повышения температуры газа, имеющего массу 20 кг и молярную массу

0,028 кг/моль, на 50 К при постоянном давлении необходимо затратить количество теплоты 0,5 МДж. Какое количество теплоты следует отнять от этого газа при постоянном объеме, чтобы его температура понизилась на 50 К?

Для решения задачи нам потребуется воспользоваться термодинамическими уравнениями и соотношениями. Рассмотрим задачу пошагово.

Дано:

1. Масса газа $m = 20 \, \text{кг}$,
2. Молярная масса $M = 0{,}028 \, \text{кг/моль}$,
3. Повышение температуры на $\Delta T = 50 \, \text{К}$,
4. Количество теплоты при постоянном давлении $Q_p = 0{,}5 \, \text{МДж} = 500 \, \text{кДж}$.

Найти: Количество теплоты $Q_v$, необходимое для охлаждения газа на $50 \, \text{К}$ при постоянном объеме.

Шаг 1. Найдём молярную теплоёмкость при постоянном давлении $C_p$

Теплоёмкость при постоянном давлении связана с количеством теплоты формулой:

где $c_p$ — удельная теплоёмкость при постоянном давлении. Выразим её:

Подставим значения:

Теперь найдём молярную теплоёмкость при постоянном давлении $C_p$:

Шаг 2. Определим молярную теплоёмкость при постоянном объёме $C_v$

Для идеального газа справедливо соотношение между молярными теплоёмкостями:

где $R = 8{,}314 \, \text{Дж/(моль·К)} \approx 0{,}008314 \, \text{кДж/(моль·К)}$.

Отсюда:

Подставим значения:

Шаг 3. Найдём удельную теплоёмкость при постоянном объёме $c_v$

Удельная теплоёмкость связана с молярной теплоёмкостью так:

Подставим значения:

Шаг 4. Вычислим количество теплоты $Q_v$

Количество теплоты при постоянном объёме рассчитывается по формуле:

Подставим значения:

Ответ:

Для понижения температуры газа на $50 \, \text{К}$ при постоянном объёме необходимо отнять $Q_v = 203 \, \text{кДж}$.