Однородная балка массы 8 кг уравновешена на трёхгранной призме. Если четвёртую часть балки отрезать, то какую вертикальную силу следует приложить к отрезанному концу для сохранения равновесия балки.

Для того чтобы рассчитать силу, которую нужно приложить к отрезанному концу балки для сохранения её равновесия, разберем задачу пошагово.

1. Исходные данные:

   • Масса балки $m = 8 \, \text{кг}$.
   • Балка уравновешена на трёхгранной призме. То есть, её поддерживают в двух точках (с точки зрения механики, это может быть точка опоры и точка приложения силы).
   • Требуется отрезать четвёртую часть балки. Таким образом, длина отрезанной части будет составлять $\frac{1}{4}$ от общей длины балки, а оставшаяся часть будет составлять $\frac{3}{4}$ длины балки.

2. Условия равновесия: При отрезании части балки и необходимости её уравновесить сила, которую нужно приложить, должна компенсировать изменение момента силы, который был бы при удержании балки без отреза. Важным моментом здесь является то, что отрезание части балки изменяет распределение массы, а значит, и момент относительно точки опоры.

3. Перераспределение массы: После того как часть балки отрезана, оставшаяся масса составляет $\frac{3}{4}$ от первоначальной. Масса оставшейся части $m_{\text{ост}} = \frac{3}{4} \times 8 \, \text{кг} = 6 \, \text{кг}$. Эта масса сосредоточена в оставшейся части балки.

4. Расположение центра масс: Центр масс всей балки до отрезания находится в середине балки, на расстоянии $\frac{L}{2}$ от её одного конца, где $L$ — длина балки. После отрезания четверти балки (пусть длина всей балки будет $L$, и длина отрезанной части будет $\frac{L}{4}$) центр масс оставшейся части смещается ближе к опоре. Центр масс оставшейся части балки будет находиться на расстоянии $\frac{3L}{8}$ от того конца, где была опора (если опору считать в одном конце балки).

5. Момент силы: Для сохранения равновесия момент относительно точки опоры должен быть равен нулю. То есть момент, который создаёт сила тяжести всей балки до отрезания, должен быть уравновешен моментом, создаваемым силой, приложенной к отрезанному концу.

   До отрезания балки её момент относительно опоры равен:

   $$M_{\text{до}} = \left( \frac{L}{2} \right) \cdot m = \frac{L}{2} \cdot 8$$

   После отрезания, момент создаётся только оставшейся частью балки, масса которой составляет $6 \, \text{кг}$, а её центр масс находится на расстоянии $\frac{3L}{8}$ от опоры. Таким образом, момент относительно опоры равен:

   $$M_{\text{после}} = \left( \frac{3L}{8} \right) \cdot 6$$

   Теперь, чтобы уравновесить моменты, мы должны найти силу, которую необходимо приложить к отрезанному концу. Эта сила должна создать момент, равный разности моментов до и после отрезания.

   Пусть сила, которую нужно приложить, равна $F$. Эта сила создаёт момент относительно точки опоры, равный $F \cdot \frac{L}{4}$, так как она действует на отрезанную часть балки, расположенную на расстоянии $\frac{L}{4}$ от точки опоры.

6. Уравнение равновесия: Для равновесия момента силы относительно опоры имеем:

   $$F \cdot \frac{L}{4} = M_{\text{до}} - M_{\text{после}}$$

   Подставим выражения для моментов:

   $$F \cdot \frac{L}{4} = \frac{L}{2} \cdot 8 - \frac{3L}{8} \cdot 6$$

   Упростим:

   $$F \cdot \frac{L}{4} = 4L - \frac{18L}{8}$$ $$F \cdot \frac{L}{4} = 4L - 2.25L = 1.75L$$

   Теперь разделим обе части уравнения на $\frac{L}{4}$:

   $$F = \frac{1.75L}{\frac{L}{4}} = 1.75 \times 4 = 7 \, \text{Н}.$$

Таким образом, для сохранения равновесия балки, после того как её четвёртая часть отрезана, необходимо приложить вертикальную силу 7 Н к отрезанному концу.