1.Самолет держит курс на северо-восток под углом 30º к меридиану, но перемещается при этом точно на север. Собственная скорость самолета 200 м/с. Определите скорость восточного ветра?
2.При прямолинейном движении пройденный телом пути изменяется со времени по закону s 5+2t+4t. Определите скорость тела через 2 ч после начала отчета времени. 1)8 м/с 2)9 м/с 3)21 м/с 4)16 м/с
3.Со станции вышел товарный поезд со скоростью 12 м/с за ним через 1 час экспресс со скоростью 22 м/с. Определите через сколько времени после выхода товарного поезда экспресс его догонит и на каком расстоянии от станции это произойдет?

Решение задач

1. Определить скорость восточного ветра

Самолет держит курс на северо-восток под углом $30^\circ$ к меридиану, но перемещается при этом точно на север. Собственная скорость самолета — $200 \, \text{м/с}$. Нужно определить скорость восточного ветра.

• Разбор ситуации:

  • Скорость самолета относительно земли ($\vec{v_{\text{зем}}}$) отклоняется от курса самолета под действием ветра.
  • Если самолет движется на север, значит, компонент его скорости на восток компенсируется ветром.

• Проекция скорости:

  • Скорость самолета относительно воздуха имеет северную компоненту:

    $$v_{\text{север}} = v_{\text{сам}} \cdot \cos 30^\circ = 200 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 200 \cdot 0.866 \approx 173.2 \, \text{м/с}.$$

    Она совпадает с направлением движения относительно земли.

  • Восточная компонента скорости самолета относительно воздуха:

    $$v_{\text{восток}} = v_{\text{сам}} \cdot \sin 30^\circ = 200 \cdot \frac{1}{2} = 100 \, \text{м/с}.$$

• Скорость ветра: Так как самолет движется строго на север, восточная компонента полностью компенсируется ветром. Таким образом, скорость восточного ветра равна:

  $$v_{\text{ветра}} = v_{\text{восток}} = 100 \, \text{м/с}.$$

Ответ: скорость восточного ветра $100 \, \text{м/с}$.

2. Определить скорость тела через 2 часа

Закон изменения пути тела: $s(t) = 5 + 2t + 4t^2$.

• Найдем скорость: Скорость тела — это первая производная пути по времени:

  $$v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(5 + 2t + 4t^2) = 0 + 2 + 8t = 2 + 8t.$$

• Подставим $t = 2 \, \text{ч}$:

  $$v(2) = 2 + 8 \cdot 2 = 2 + 16 = 18 \, \text{м/с}.$$

• Варианты ответа в условии, видимо, содержат опечатку. Скорость через $t = 2$ часа будет 18 м/с.

Ответ: $18 \, \text{м/с}$.

3. Догонит ли экспресс товарный поезд, и через какое время?

• Исходные данные:

  • Скорость товарного поезда: $v_1 = 12 \, \text{м/с}$.
  • Скорость экспресса: $v_2 = 22 \, \text{м/с}$.
  • Время, через которое экспресс вышел: $t_0 = 1 \, \text{ч} = 3600 \, \text{с}$.

• Решение: Пусть $t$ — время с момента выхода экспресса до встречи поездов. За это время:

  • Экспресс пройдет путь: $$S_{\text{экспресс}} = v_2 \cdot t.$$
  • Товарный поезд пройдет путь: $$S_{\text{товарный}} = v_1 \cdot (t + 3600).$$

  Условие встречи:

  $$S_{\text{экспресс}} = S_{\text{товарный}}.$$

  Подставляем выражения:

  $$v_2 \cdot t = v_1 \cdot (t + 3600).$$

• Решим уравнение:

  $$22t = 12(t + 3600).$$

  Раскроем скобки:

  $$22t = 12t + 43200.$$

  Переносим $12t$ влево:

  $$22t - 12t = 43200 \implies 10t = 43200.$$

  Делим на 10:

  $$t = 4320 \, \text{с} = 1{,}2 \, \text{ч}.$$

• Рассчитаем расстояние: Расстояние от станции:

  $$S = v_2 \cdot t = 22 \cdot 4320 = 95040 \, \text{м} = 95{,}04 \, \text{км}.$$

Ответ: Экспресс догонит товарный поезд через $1{,}2 \, \text{ч}$ на расстоянии $95{,}04 \, \text{км}$ от станции.