. Доказать, что функция y=cos⁡ x/4 является периодической и найти наименьший положительный период

Функция $y = \frac{\cos x}{4}$ является периодической, что можно доказать, учитывая свойства косинуса. Сначала рассмотрим определение периодической функции. Функция $f(x)$ называется периодической, если существует такое ненулевое число $P$, что для всех $x$ в области определения функции выполняется равенство $f(x) = f(x + P)$.

Для функции $y = \frac{\cos x}{4}$, основная функция - это $\cos x$. Косинус является периодической функцией с периодом $2\pi$, что означает $\cos x = \cos (x + 2\pi)$ для всех $x$. Деление на 4 не влияет на периодичность функции, так как это просто масштабирующий множитель, который изменяет амплитуду, но не период.

Таким образом, наша функция $y = \frac{\cos x}{4}$ будет повторять свои значения каждые $2\pi$ единиц по оси $x$, что означает, что ее наименьший положительный период равен $2\pi$.

Мы можем подтвердить это, проверив, что $\frac{\cos x}{4} = \frac{\cos (x + 2\pi)}{4}$ для всех $x$. Это верно, так как:

$\frac{\cos (x + 2\pi)}{4} = \frac{\cos x \cos 2\pi - \sin x \sin 2\pi}{4}$

Учитывая, что $\cos 2\pi = 1$ и $\sin 2\pi = 0$, это упрощается до:

$\frac{\cos x \cdot 1 - \sin x \cdot 0}{4} = \frac{\cos x}{4}$

Таким образом, доказано, что $y = \frac{\cos x}{4}$ является периодической функцией с наименьшим положительным периодом $2\pi$.