Решите дробно-рациональные уравнения:
1) x/(x+2) + (x+2)/(x-2) = 8/(x²-4)
2) 3x/(3-x) + 9/(x-2) = x
3) 1/(2-x) - 1 = (6-x)/(3x²-12)

1) \( \frac{x}{x+2} + \frac{x+2}{x-2} = \frac{8}{x^2-4} \)

ОДЗ: \( x \neq \pm 2 \). Умножим обе части на \( (x-2)(x+2) \):
\( x(x-2) + (x+2)^2 = 8 \)
\( x^2 - 2x + x^2 + 4x + 4 = 8 \)
\( 2x^2 + 2x - 4 = 0 \) → \( x^2 + x - 2 = 0 \)
\( (x+2)(x-1) = 0 \) → \( x = -2 \) или \( x = 1 \).
\( x = -2 \) не подходит по ОДЗ. Ответ: \( x = 1 \).

2) \( \frac{3x}{3-x} + \frac{9}{x-2} = x \)

ОДЗ: \( x \neq 3 \), \( x \neq 2 \). Преобразуем: \( \frac{3x}{3-x} = -\frac{3x}{x-3} \). Уравнение: \( -\frac{3x}{x-3} + \frac{9}{x-2} = x \). Умножим на \( (x-3)(x-2) \):
\( -3x(x-2) + 9(x-3) = x(x-3)(x-2) \)
\( -3x^2 + 6x + 9x - 27 = x(x^2 - 5x + 6) \)
\( -3x^2 + 15x - 27 = x^3 - 5x^2 + 6x \)
\( 0 = x^3 - 2x^2 - 9x + 27 \).
Кубическое уравнение не имеет рациональных корней. Единственный действительный корень приближённо: \( x \approx -3{,}25 \) (точное значение выражается через формулу Кардано). Проверка ОДЗ: \( x \approx -3{,}25 \) подходит. Ответ: \( x \approx -3{,}25 \).

3) \( \frac{1}{2-x} - 1 = \frac{6-x}{3x^2-12} \)

ОДЗ: \( 2-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 \); \( 3x^2-12 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 4 \Rightarrow x \neq \pm 2 \).
Заметим: \( \frac{1}{2-x} = -\frac{1}{x-2} \), \( 3x^2-12 = 3(x-2)(x+2) \). Уравнение: \( -\frac{1}{x-2} - 1 = \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} \).
Умножим на \( 3(x-2)(x+2) \):
\( -3(x+2) - 3(x-2)(x+2) = 6-x \)
\( -3x - 6 - 3(x^2 - 4) = 6 - x \)
\( -3x - 6 - 3x^2 + 12 = 6 - x \)
\( -3x^2 - 3x + 6 = 6 - x \)
\( -3x^2 - 3x + 6 - 6 + x = 0 \)
\( -3x^2 - 2x = 0 \)
\( -x(3x + 2) = 0 \)
\( x = 0 \) или \( 3x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3} \).
Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ: \( x = 0 \), \( x = -\frac{2}{3} \).

0 0 Пожаловаться