Помогите решить дробно рациональное уравнение y^3 - 4y^2 - 6y +24/(y^3-6y)=0

Для решения дробно-рационального уравнения $\frac{y^3 - 4y^2 - 6y + 24}{y^3 - 6y} = 0$, мы сначала рассмотрим числитель и знаменатель отдельно.

1. Упрощение уравнения: Уравнение примет вид $y^3 - 4y^2 - 6y + 24 = 0$, так как дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

2. Решение числителя: Давайте разложим $y^3 - 4y^2 - 6y + 24$ на множители.

   • Начнем с поиска корней многочлена. Мы можем попробовать целые делители свободного члена (24), которые являются ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24.
   • Подставим эти значения в уравнение и найдем корни.

   Для этого я сначала вычислю значения многочлена при этих корнях.

3. Проверка знаменателя: Нам нужно убедиться, что знаменатель $y^3 - 6y$ не равен нулю при найденных корнях. Если для какого-либо корня знаменатель обращается в ноль, этот корень следует исключить из решений исходного уравнения.

Перейдем к расчетам.

Корнями уравнения числителя $y^3 - 4y^2 - 6y + 24 = 0$ являются $y = 4$, $y = -\sqrt{6}$ и $y = \sqrt{6}$.

4. Проверка на недопустимые значения: Теперь необходимо проверить, не обращается ли в ноль знаменатель $y^3 - 6y$ при этих значениях $y$.

   Знаменатель равен нулю, когда $y^3 - 6y = 0$. Разложим это на множители: $y(y^2 - 6) = 0$ Отсюда получаем недопустимые значения $y = 0$, $y = \sqrt{6}$, и $y = -\sqrt{6}$.

Так как $y = \sqrt{6}$ и $y = -\sqrt{6}$ являются корнями числителя и одновременно обращают знаменатель в ноль, они не подходят в качестве решений исходного уравнения. Единственным допустимым решением является $y = 4$. ​​