Помогите пожалуйста!! Дробно линейная функция задана уравнением f(x)=ax+2/x+b
а) ассимптоты функции имеют уравнения
х=-2; у=-3. Найдите значение переменных а и b
b) Используя результаты предыдущего действия:
1. приведите функцию f(x)=ax+2/x+b к виду у= n+k/x+m
2. найдите точки пересечения функции с осями координат
3. постройте график функции. ​
4. найти обратную функцию для функции f(x)=ax+2/x+b
Как будет расположен график обратной функции относительно первоначальной?

Для того чтобы решить задачу, разберем её по пунктам.

a) Найдём значения переменных $a$ и $b$ для асимптот

Дано, что функция $f(x) = \frac{ax + 2}{x + b}$ имеет асимптоты:

• вертикальная асимптота: $x = -2$
• горизонтальная асимптота: $y = -3$

1. Вертикальная асимптота $x = -2$
Вертикальная асимптота возникает, когда знаменатель функции обращается в ноль. Значит:

2. Горизонтальная асимптота $y = -3$
Для дробно-рациональных функций горизонтальная асимптота определяется отношением коэффициентов при $x$ в числителе и знаменателе. В данном случае это коэффициенты $a$ в числителе и $1$ (коэффициент при $x$ в знаменателе). Тогда горизонтальная асимптота:

Таким образом, значения переменных $a$ и $b$ следующие:

Подставим их в функцию:

b) Используя найденные значения $a$ и $b$, решим оставшиеся пункты.

1. Приведём функцию к виду $y = n + \frac{k}{x + m}$

Подставляем $a = -3$ и $b = -2$:

Разделим числитель и знаменатель на $x - 2$, чтобы выделить целую часть:

Таким образом, функция приобретает вид:

Здесь:

2. Найдём точки пересечения функции с осями координат

• Точка пересечения с осью $y$:
  Чтобы найти пересечение с осью $y$, подставим $x = 0$:

  $$f(0) = \frac{-3 \cdot 0 + 2}{0 - 2} = \frac{2}{-2} = -1$$

  Значит, точка пересечения с осью $y$ — $(0, -1)$.

• Точка пересечения с осью $x$:
  Чтобы найти пересечение с осью $x$, приравняем функцию к нулю:

  $$\frac{-3x + 2}{x - 2} = 0$$

  Это возможно, когда числитель равен нулю:

  $$-3x + 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$$

  Значит, точка пересечения с осью $x$ — $\left( \frac{2}{3}, 0 \right)$.

3. Построим график функции

График функции $y = -3 + \frac{8}{x - 2}$ представляет собой гиперболу, смещённую по осям:

• Вертикальная асимптота проходит через $x = -2$,
• Горизонтальная асимптота проходит через $y = -3$.

Функция имеет точки пересечения с осями, как мы нашли ранее:

• С осью $y$ в точке $(0, -1)$,
• С осью $x$ в точке $\left( \frac{2}{3}, 0 \right)$.

4. Найдём обратную функцию для $f(x) = \frac{-3x + 2}{x - 2}$

Для нахождения обратной функции выразим $x$ через $y$:

Перемножим, чтобы избавиться от дроби:

Раскроем скобки:

Перенесём все члены с $x$ в одну сторону: