Дробные рациональные уравнения
1) x^2 +3x/2 + x-3x^2/8 = 2x
2) x^2 + 3x/ x-4 = x^2 - x/4-x
3)2x+ 3/ x+2 = 3x+ 2/ x

Задание 1: $\frac{x^2 + 3x}{2} + \frac{x - 3x^2}{8} = 2x$

Для решения этого уравнения первым делом приведём все дроби к общему знаменателю. У нас есть дроби с знаменателями 2 и 8, их наименьший общий знаменатель (НОД) — это 8. Перепишем уравнение, используя общий знаменатель.

1. Перепишем первую дробь с знаменателем 2:

   $$\frac{x^2 + 3x}{2} = \frac{4(x^2 + 3x)}{8}$$

   Теперь у нас есть дроби с одинаковым знаменателем:

   $$\frac{4(x^2 + 3x)}{8} + \frac{x - 3x^2}{8} = 2x$$

2. Объединим дроби с одинаковыми знаменателями:

   $$\frac{4(x^2 + 3x) + (x - 3x^2)}{8} = 2x$$

   Упростим числитель:

   $$4(x^2 + 3x) + (x - 3x^2) = 4x^2 + 12x + x - 3x^2 = x^2 + 13x$$

   Теперь уравнение выглядит так:

   $$\frac{x^2 + 13x}{8} = 2x$$

3. Умножим обе части уравнения на 8, чтобы избавиться от знаменателя:

   $$x^2 + 13x = 16x$$

4. Переносим все термины на одну сторону уравнения:

   $$x^2 + 13x - 16x = 0$$

   Упростим:

   $$x^2 - 3x = 0$$

5. Вынесем общий множитель $x$:

   $$x(x - 3) = 0$$

6. Таким образом, получаем два решения:

   $$x = 0 \quad \text{или} \quad x = 3$$

Ответ: $x = 0$ и $x = 3$.

Задание 2: $\frac{x^2 + 3x}{x - 4} = \frac{x^2 - x}{4 - x} - x$

Первым делом заметим, что $4 - x$ можно записать как $-(x - 4)$, и уравнение можно переписать в следующем виде:

Упростим правую часть:

Теперь у нас получается:

Далее, чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на $x - 4$ (при условии, что $x \neq 4$):

Раскроем скобки на правой стороне:

Теперь подставим это в уравнение: