Команда девятиклассников в количестве 7 человек принимала участие в соревнованиях по мини-футболу. Перед началом матча они построились на поле следующим образом: капитан, вратарь, а остальные игроки в произвольном порядке. Сколько существует способов построения команды?

Давайте разберёмся с этой задачей пошагово.

У нас есть 7 человек: капитан, вратарь и 5 остальных игроков. Нужно узнать, сколько способов можно их расставить на поле с условием, что капитан и вратарь занимают свои определённые позиции, а остальные 5 игроков могут стоять в любом порядке.

1. Фиксируем капитана и вратаря.
   Позиции капитана и вратаря заданы, значит, эти двое уже расставлены, и на них нет выбора.

2. Остальные 5 игроков.
   Эти 5 человек могут занимать оставшиеся 5 позиций в любом порядке. Количество способов перестановки 5 объектов равно $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.

3. Общее количество способов построения команды.
   Поскольку позиции капитана и вратаря фиксированы, общее число способов — это просто число перестановок оставшихся игроков:

   $$\text{Способы} = 5! = 120$$

✅ Ответ: 120 способов.

Если бы капитан и вратарь могли менять свои позиции, тогда пришлось бы учитывать перестановки всех 7 игроков, но в нашей задаче позиции этих двух людей заранее определены.