Решите уравнение: 4/х-2 - 15/х = 2

Для того чтобы решить уравнение $\frac{4}{x-2} - \frac{15}{x} = 2$, давайте пошагово разберёмся, как его решить.

1. Приведение к общему знаменателю:

   У нас два дробных выражения $\frac{4}{x-2}$ и $\frac{15}{x}$. Чтобы сложить или вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $x-2$ и $x$ будет $x(x-2)$.

   Мы домножим каждую дробь на недостающие множители, чтобы получить общий знаменатель.

   Первая дробь $\frac{4}{x-2}$ будет умножена на $\frac{x}{x}$, а вторая $\frac{15}{x}$ на $\frac{x-2}{x-2}$.

   После этого у нас получится:

   $$\frac{4 \cdot x}{(x-2) \cdot x} - \frac{15 \cdot (x-2)}{x \cdot (x-2)} = 2$$

2. Приведение к общему знаменателю:

   Теперь обе дроби имеют общий знаменатель, и их можно объединить в одну:

   $$\frac{4x - 15(x-2)}{x(x-2)} = 2$$

   Раскроем скобки в числителе:

   $$4x - 15(x-2) = 4x - 15x + 30 = -11x + 30$$

   Теперь у нас уравнение:

   $$\frac{-11x + 30}{x(x-2)} = 2$$

3. Избавление от дроби:

   Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $x(x-2)$ (при этом $x \neq 0$ и $x \neq 2$, так как деление на ноль невозможно):

   $$-11x + 30 = 2x(x-2)$$

4. Раскрытие скобок:

   Раскроем скобки справа:

   $$-11x + 30 = 2x^2 - 4x$$

5. Перенос всех членов в одну сторону:

   Переносим все выражения на одну сторону уравнения:

   $$0 = 2x^2 - 4x + 11x - 30$$

   Сначала объединяем подобные члены:

   $$0 = 2x^2 + 7x - 30$$

6. Решение квадратного уравнения:

   Теперь у нас есть квадратное уравнение:

   $$2x^2 + 7x - 30 = 0$$

   Решим его с помощью формулы дискриминанта.

   Формула дискриминанта для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ выглядит так:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   В нашем уравнении $a = 2$, $b = 7$, $c = -30$. Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

   $$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 49 + 240 = 289$$

   Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных корня. Теперь найдём их с помощью формулы:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставляем значения:

   $$x = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm 17}{4}$$

   Это даёт два возможных значения для $x$:

   $$x_1 = \frac{-7 + 17}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$$ $$x_2 = \frac{-7 - 17}{4} = \frac{-24}{4} = -6$$